Номер 1, страница 181 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Сколько атомов распадается за одни сутки в препарате полония $^{210}_{84}Po$ массой $m = 1 \text{ г}$?

Ответ: $\Delta N = 1,44 \cdot 10^{10}$ атомов.

1. Дано:

Препарат: полоний-210 ($_{84}^{210}\text{Po}$)

Масса препарата: $m = 1 \text{ г}$

Промежуток времени: $\Delta t = 1 \text{ сутки}$

Справочные данные:

Молярная масса полония-210: $M(^{210}\text{Po}) \approx 210 \text{ г/моль}$

Период полураспада полония-210: $T_{1/2} = 138.4 \text{ суток}$

Число Авогадро: $N_A = 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ г} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$M \approx 210 \text{ г/моль} = 0.210 \text{ кг/моль}$

$\Delta t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

$T_{1/2} = 138.4 \text{ суток} \approx 1.196 \cdot 10^7 \text{ с}$

Найти:

$\Delta N$ — число распавшихся атомов.

Решение:

Число распавшихся атомов $\Delta N$ за промежуток времени $\Delta t$ можно найти с помощью закона радиоактивного распада. Поскольку время наблюдения $\Delta t = 1 \text{ сутки}$ значительно меньше периода полураспада $T_{1/2} = 138.4 \text{ суток}$, можно использовать приближенную формулу:

$\Delta N \approx \lambda N_0 \Delta t$

где $N_0$ — начальное число атомов, а $\lambda$ — постоянная распада.

1. Сначала найдем начальное число атомов $N_0$ в 1 грамме полония. Для этого воспользуемся формулой, связывающей массу $\text{m}$, молярную массу $\text{M}$ и число Авогадро $N_A$:

$N_0 = \frac{m}{M} N_A$

Подставим значения (для удобства вычислений будем использовать массу в граммах и молярную массу в г/моль):

$N_0 = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2.868 \cdot 10^{21}$ атомов.

2. Далее вычислим постоянную распада $\lambda$. Она связана с периодом полураспада $T_{1/2}$ соотношением:

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$

Так как промежуток времени $\Delta t$ дан в сутках, удобно выразить $T_{1/2}$ в сутках и, соответственно, $\lambda$ в сутках$^{-1}$:

$\lambda = \frac{\ln 2}{138.4 \text{ суток}} \approx \frac{0.6931}{138.4 \text{ суток}} \approx 0.005008 \text{ суток}^{-1}$.

3. Теперь мы можем рассчитать искомое число распавшихся атомов $\Delta N$ за одни сутки:

$\Delta N \approx N_0 \lambda \Delta t$

$\Delta N \approx (2.868 \cdot 10^{21} \text{ атомов}) \cdot (0.005008 \text{ суток}^{-1}) \cdot (1 \text{ сутки})$

$\Delta N \approx 1.436 \cdot 10^{19}$ атомов.

Округляя результат до трех значащих цифр, получаем $\Delta N \approx 1.44 \cdot 10^{19}$ атомов.

Ответ: $\Delta N \approx 1.44 \cdot 10^{19}$ атомов.