Номер 2, страница 181 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Определите период полураспада висмута $_{83}^{210}\text{Bi}$, если известно, что за 1 с из висмута массой 1 г вылетает $N = 4,58 \cdot 10^{10}$ $\beta$-частиц.

Ответ: 5 суток.

Дано:

Изотоп: $_{83}^{210}\text{Bi}$

Масса висмута, $m = 1 \text{ г}$

Время, $\Delta t = 1 \text{ с}$

Число вылетевших $\beta$-частиц, $N = 4,58 \cdot 10^{13}$

Молярная масса висмута-210, $M \approx 210 \text{ г/моль}$

Число Авогадро, $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Постоянная $\ln 2 \approx 0,693$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$

$M \approx 210 \text{ г/моль} = 0,21 \text{ кг/моль}$

Найти:

Период полураспада, $T_{1/2}$

Решение:

Активность образца $\text{A}$ — это число распадов в единицу времени. По условию, за $\Delta t = 1 \text{ с}$ происходит $N = 4,58 \cdot 10^{13}$ распадов.

$A = \frac{N}{\Delta t} = \frac{4,58 \cdot 10^{13}}{1 \text{ с}} = 4,58 \cdot 10^{13} \text{ Бк}$

Найдем начальное количество ядер висмута $N_0$ в образце массой $m = 1 \text{ г}$.

Число ядер $N_0$ определяется по формуле: $N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$.

$N_0 = \frac{1 \text{ г}}{210 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,868 \cdot 10^{21}$ ядер.

Активность также связана с числом ядер $N_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ через постоянную распада $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$:

$A = \lambda N_0 = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot N_0$

Выразим отсюда период полураспада $T_{1/2}$:

$T_{1/2} = \frac{N_0 \cdot \ln 2}{A}$

Подставим числовые значения:

$T_{1/2} = \frac{2,868 \cdot 10^{21} \cdot 0,693}{4,58 \cdot 10^{13} \text{ с}^{-1}} \approx \frac{1,988 \cdot 10^{21}}{4,58 \cdot 10^{13}} \text{ с} \approx 4,34 \cdot 10^7 \text{ с}$.

Переведем результат в сутки, зная что в 1 сутках $24 \cdot 3600 = 86400$ секунд:

$T_{1/2} = \frac{4,34 \cdot 10^7 \text{ с}}{86400 \text{ с/сутки}} \approx 502 \text{ суток}$.

Полученный результат (около 502 суток) не совпадает с ответом, указанным в задаче (5 суток). Реальный период полураспада висмута-210 действительно составляет около 5 суток. Расхождение вызвано опечаткой в условии: количество вылетающих частиц должно было быть на два порядка больше, т.е. $N = 4,58 \cdot 10^{15}$.

Если выполнить расчет с исправленным значением, получим:

$A' = 4,58 \cdot 10^{15} \text{ Бк}$

$T_{1/2} = \frac{2,868 \cdot 10^{21} \cdot 0,693}{4,58 \cdot 10^{15} \text{ с}^{-1}} \approx 4,34 \cdot 10^5 \text{ с}$

$T_{1/2} = \frac{4,34 \cdot 10^5 \text{ с}}{86400 \text{ с/сутки}} \approx 5,02 \text{ суток}$.

Этот результат соответствует справочным данным и ответу к задаче.

Ответ: 5 суток.