Номер 5, страница 181 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

5. Определите, сколько атомов распадается в $m = 1 \text{ мг}$ радиоактивного изотопа цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$ в течение промежутка времени $t = 20 \text{ дн.}$ Период полураспада цезия $T_{1/2} = 30 \text{ дн.}$

Ответ: $N = 1,6 \cdot 10^{11}$.

Дано:

Изотоп: $_{55}^{137}Cs$

Масса изотопа: $m = 1 \text{ мг}$

Промежуток времени: $t = 20 \text{ дн}$

Период полураспада: $T_{1/2} = 30 \text{ дн}$

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса цезия-137: $M \approx 137 \text{ г/моль}$

Перевод в СИ:

$m = 1 \text{ мг} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Найти:

Число распавшихся атомов $\Delta N$.

Решение:

1. Сначала определим начальное количество атомов $N_0$ в радиоактивном образце. Число атомов связано с массой вещества $\text{m}$, его молярной массой $\text{M}$ и числом Авогадро $N_A$ по формуле:

$N_0 = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Для расчетов удобнее использовать массу в граммах ($m = 10^{-3} \text{ г}$), поскольку молярная масса дана в г/моль.

$N_0 = \frac{10^{-3} \text{ г}}{137 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 4.3956 \cdot 10^{18}$

2. Количество распавшихся за время $\text{t}$ атомов $\Delta N$ можно найти, используя закон радиоактивного распада. Число нераспавшихся атомов $N(t)$ через время $\text{t}$ равно:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Тогда число распавшихся атомов $\Delta N$ — это разность между начальным и оставшимся числом атомов:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_0(1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

3. Подставим в формулу числовые значения. Поскольку время $\text{t}$ и период полураспада $T_{1/2}$ даны в одних и тех же единицах (днях), их отношение не требует перевода в систему СИ.

$\Delta N \approx 4.3956 \cdot 10^{18} \cdot (1 - 2^{-20/30}) = 4.3956 \cdot 10^{18} \cdot (1 - 2^{-2/3})$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 - 2^{-2/3} = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 1 - \frac{1}{1.5874} \approx 1 - 0.62996 = 0.37004$

Теперь вычислим итоговое значение $\Delta N$:

$\Delta N \approx 4.3956 \cdot 10^{18} \cdot 0.37004 \approx 1.6265 \cdot 10^{18}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$\Delta N \approx 1.6 \cdot 10^{18}$

Ответ: $\Delta N \approx 1.6 \cdot 10^{18}$.