Номер 4, страница 181 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Период полураспада изотопа йода $_{53}^{131}\text{I}$ — восемь суток. Если первоначальная масса препарата 40 г, сколько ядер радиоактивного изотопа останется после 80 суток?

Ответ: $1,8 \cdot 10^{20}$.

4. Дано:

Изотоп йода: $_{53}^{131}I$

Период полураспада: $T_{1/2} = 8$ суток

Первоначальная масса препарата: $m_0 = 40$ г

Время распада: $t = 80$ суток

Молярная масса йода-131: $M \approx 131$ г/моль

Постоянная Авогадро: $N_A \approx 6.02 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 40 \text{ г} = 0.04$ кг

$T_{1/2} = 8 \text{ суток} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200$ с

$t = 80 \text{ суток} = 80 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 6912000$ с

$M \approx 131 \text{ г/моль} = 0.131$ кг/моль

(Для данного решения удобнее использовать исходные единицы, так как время входит в виде отношения).

Найти:

Число оставшихся ядер радиоактивного изотопа $\text{N}$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает уменьшение количества радиоактивного вещества со временем. Масса $\text{m}$ вещества, оставшаяся через время $\text{t}$, связана с начальной массой $m_0$ и периодом полураспада $T_{1/2}$ формулой:

$m = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Сначала определим, сколько периодов полураспада прошло за 80 суток:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{80 \text{ суток}}{8 \text{ суток}} = 10$

Таким образом, прошло 10 периодов полураспада.

Теперь можем найти массу изотопа йода, которая останется по истечении этого времени:

$m = 40 \text{ г} \cdot 2^{-10} = 40 \text{ г} \cdot \frac{1}{1024} = \frac{40}{1024} \text{ г} \approx 0.0390625$ г

Чтобы найти число оставшихся ядер $\text{N}$, нужно связать массу вещества $\text{m}$ с числом атомов. Эта связь осуществляется через молярную массу $\text{M}$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

Молярная масса изотопа йода $_{53}^{131}I$ приблизительно равна его массовому числу, то есть $M \approx 131$ г/моль.

Подставим все известные значения в формулу:

$N = \frac{40/1024 \text{ г}}{131 \text{ г/моль}} \cdot 6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Выполним вычисления:

$N = \frac{40}{1024 \cdot 131} \cdot 6.02 \times 10^{23} \approx \frac{40}{134144} \cdot 6.02 \times 10^{23}$

$N \approx 0.0002981 \cdot 6.02 \times 10^{23} \approx 1.794 \times 10^{20}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем итоговое число ядер.

$N \approx 1.8 \times 10^{20}$

Ответ: после 80 суток останется $1.8 \times 10^{20}$ ядер радиоактивного изотопа йода-131.