Номер 5, страница 224 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

5. На расстоянии 10 пк от Солнца взорвалась новая звезда, расширяющаяся со скоростью 10000 км/ч. Какой угловой размер будет иметь туманность через 50 лет?

Ответ: $20'$

Дано:

Расстояние до звезды, $D = 10$ пк

Скорость расширения, $v = 10 000$ км/ч

Время, $t = 50$ лет

Перевод в систему СИ:

$D = 10 \text{ пк} \approx 10 \times 3.086 \times 10^{16} \text{ м} = 3.086 \times 10^{17} \text{ м}$

$v = 10000 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{10000 \times 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 2778 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$t = 50 \text{ лет} = 50 \times 365.25 \frac{\text{дней}}{\text{год}} \times 24 \frac{\text{ч}}{\text{день}} \times 3600 \frac{\text{с}}{\text{ч}} = 1,577,880,000 \text{ с} \approx 1.578 \times 10^9 \text{ с}$

Найти:

Угловой размер туманности, $\alpha$

Решение:

1. Сначала найдем линейный диаметр туманности $\text{d}$ через $t=50$ лет. Туманность расширяется сферически от центра, поэтому ее радиус $\text{r}$ в момент времени $\text{t}$ будет равен произведению скорости расширения на время. Линейный диаметр туманности $\text{d}$ равен двум радиусам.

$d = 2 \times v \times t$

Подставим значения в системе СИ:

$d \approx 2 \times 2778 \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 1.578 \times 10^9 \text{ с} \approx 8.767 \times 10^{12} \text{ м}$

2. Теперь, зная линейный диаметр $\text{d}$ и расстояние до объекта $\text{D}$, мы можем найти его угловой размер $\alpha$. Для малых углов, что всегда справедливо для далеких астрономических объектов, угловой размер в радианах можно найти по формуле:

$\alpha_{\text{рад}} \approx \frac{d}{D}$

Подставим вычисленные значения $\text{d}$ и $\text{D}$:

$\alpha_{\text{рад}} \approx \frac{8.767 \times 10^{12} \text{ м}}{3.086 \times 10^{17} \text{ м}} \approx 2.841 \times 10^{-5} \text{ рад}$

3. Переведем полученный угловой размер из радиан в угловые минуты ('), поскольку в астрономии часто используются именно эти единицы. В одном радиане содержится $\frac{180 \times 60}{\pi}$ угловых минут.

$\alpha_{'} = \alpha_{\text{рад}} \times \frac{180 \times 60}{\pi} \approx 2.841 \times 10^{-5} \times 3438 \approx 0.0977'$

Округлив до двух значащих цифр, получаем $0.098'$. Этот результат также можно выразить в угловых секундах (''), умножив на 60: $0.0977 \times 60 \approx 5.86''$.

Ответ: Угловой размер туманности составит примерно $0.098'$.