Номер 3, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Квадратная рамка с током массой 200 г со стороной, равной 20 см, лежит на горизонтальной поверхности. Индукция магнитного поля, равная 4 Тл, параллельна плоскости рамки. При какой минимальной силе тока одна из сторон рамки не давит на поверхность?

Дано:

масса рамки $m = 200$ г $= 0.2$ кг
сторона рамки $a = 20$ см $= 0.2$ м
индукция магнитного поля $B = 4$ Тл
ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

минимальную силу тока $I_{min}$

Решение:

Квадратная рамка с током лежит на горизонтальной поверхности. На нее действуют сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

Магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ параллельно плоскости рамки. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая определяется по формуле: $F_A = I L B \sin(\alpha)$, где $I$ - сила тока, $L$ - длина проводника, $B$ - индукция магнитного поля, а $\alpha$ - угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Для того чтобы сила тока была минимальной, необходимо, чтобы создаваемый ею вращающий момент был максимальным. Это достигается, когда вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен двум сторонам рамки и параллелен двум другим. В этом случае на перпендикулярные полю стороны будет действовать максимальная сила Ампера, создающая вращающий момент, а на параллельные полю стороны сила Ампера действовать не будет ($\sin(0^\circ) = 0$).

Пусть вектор $\vec{B}$ параллелен двум сторонам рамки. На две другие стороны, перпендикулярные вектору $\vec{B}$, будут действовать силы Ампера. Ток в рамке течет по замкнутому контуру, поэтому в этих двух параллельных сторонах он будет направлен в противоположные стороны. Согласно правилу левой руки, силы Ампера, действующие на эти стороны, также будут направлены в противоположные стороны и перпендикулярны плоскости рамки. Одна сила ($F_{A1}$) будет направлена вертикально вверх, а другая ($F_{A2}$) — вертикально вниз.

Величина этих сил одинакова и равна $F_A = I \cdot a \cdot B$, так как угол $\alpha = 90^\circ$ и $\sin(90^\circ) = 1$.

Сила, направленная вниз, будет прижимать одну сторону рамки к поверхности, а сила, направленная вверх, будет пытаться оторвать от поверхности противоположную сторону. Рамка начнет поворачиваться (опрокидываться) вокруг той стороны, которая прижимается к поверхности. Эту сторону можно считать осью вращения.

Условие, при котором одна из сторон рамки "не давит на поверхность", означает, что сила реакции опоры под этой стороной стала равной нулю, и рамка находится на грани опрокидывания. В этот момент момент силы Ампера, стремящийся поднять рамку, равен моменту силы тяжести, который препятствует этому.

За ось вращения примем сторону рамки, на которую действует сила Ампера, направленная вниз.

Момент силы тяжести $M_g$. Сила тяжести $F_g = mg$ приложена к центру масс рамки (геометрическому центру квадрата). Плечо этой силы относительно оси вращения равно половине стороны рамки, т.е. $a/2$.

$M_g = F_g \cdot \frac{a}{2} = mg \frac{a}{2}$

Момент поднимающей силы Ампера $M_A$. Поднимающая сила $F_{A1} = I a B$ приложена к противоположной стороне рамки. Плечо этой силы равно стороне рамки $a$.

$M_A = F_{A1} \cdot a = (I a B) \cdot a = I a^2 B$

Приравнивая моменты, получаем условие равновесия (начало опрокидывания):

$M_A = M_g$

$I a^2 B = mg \frac{a}{2}$

Из этого уравнения выражаем минимальную силу тока $I_{min}$:

$I_{min} = \frac{mg \frac{a}{2}}{a^2 B} = \frac{mg}{2 a B}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$I_{min} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 0.2 \text{ м} \cdot 4 \text{ Тл}} = \frac{2}{1.6} = 1.25$ А

Ответ: $1.25$ А.