Номер 4, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит проводящая жёсткая рамка из однородной тонкой проволоки, согнутой в виде равностороннего треугольника ADC со стороной, равной $a$ (см. рис.). Рамка, по которой идёт ток $I$, находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции которого $\vec{B}$ перпендикулярен стороне CD. Каким должен быть модуль индукции магнитного поля, чтобы рамка начала поворачиваться вокруг стороны CD, если масса рамки $m$?

Дано:

Рамка в виде равностороннего треугольника со стороной $a$ (см)
Сила тока в рамке: $I$
Масса рамки: $m$

Найти:

$B$ - модуль индукции магнитного поля.

Решение:

Рамка начнёт поворачиваться вокруг стороны $CD$, когда вращающий момент, создаваемый силами Ампера, станет равен противодействующему моменту, создаваемому силой тяжести. Осью вращения является сторона $CD$.

Вращающий момент $M_B$, действующий на замкнутый контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой: $M_B = p_m B \sin\alpha$, где $p_m = IS$ - магнитный момент рамки, $S$ - площадь рамки, $I$ - сила тока, $B$ - модуль индукции магнитного поля, $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором магнитного момента $\vec{p_m}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Магнитный момент рамки: $p_m = IS = I \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Рамка лежит на горизонтальной поверхности. Вектор магнитного поля $\vec{B}$ также горизонтален и перпендикулярен стороне $CD$. Вектор магнитного момента $\vec{p_m}$ перпендикулярен плоскости рамки. Следовательно, угол между векторами $\vec{p_m}$ и $\vec{B}$ равен $\alpha = 90^\circ$, и $\sin\alpha = 1$.

Таким образом, вращающий момент, создаваемый магнитным полем, равен: $M_B = p_m B = I B \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Момент силы тяжести $M_g$ создает противодействие вращению. Он равен произведению силы тяжести $mg$ на её плечо. Плечом является расстояние от оси вращения (стороны $CD$) до центра масс рамки.

Рамка сделана из однородной проволоки, поэтому её центр масс совпадает с геометрическим центром треугольника (точкой пересечения медиан, высот и биссектрис). Расстояние от основания равностороннего треугольника до его центра масс равно одной трети его высоты $h$.

Высота равностороннего треугольника: $h = a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Плечо силы тяжести: $d = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Момент силы тяжести равен: $M_g = mgd = mg \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Приравниваем моменты для нахождения условия начала вращения $M_B = M_g$: $I B \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = mg \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Сокращаем обе части уравнения на $a\sqrt{3}$: $I B \frac{a}{4} = \frac{mg}{6}$

Выражаем B: $B = \frac{4mg}{6Ia} = \frac{2mg}{3Ia}$

В данной формуле все величины должны быть в системе СИ, в частности, сторона $a$ должна быть выражена в метрах.

Ответ: $B = \frac{2mg}{3Ia}$