Номер 3, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. По прямому горизонтальному проводнику длиной 1 м с площадью поперечного сечения $1,25 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$, подвешенному с помощью двух одинаковых невесомых пружинок жёсткостью 100 Н/м каждая, идёт ток. Сила тока 10 А. На какой угол от вертикали отклонятся пружинки при включении вертикального магнитного поля с индукцией 0,1 Тл, если абсолютное удлинение каждой из пружинок при этом составляет $7 \cdot 10^{-3} \text{ м}$? (Плотность материала проводника $8 \cdot 10^{3} \text{ кг/м}^3$.)

Дано:

Длина проводника, $L = 1 \text{ м}$

Площадь поперечного сечения, $S = 1,25 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

Количество пружинок, $n = 2$

Жёсткость каждой пружинки, $k = 100 \text{ Н/м}$

Сила тока, $I = 10 \text{ А}$

Индукция магнитного поля, $B = 0,1 \text{ Тл}$

Абсолютное удлинение каждой пружинки, $\Delta l = 7 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Плотность материала проводника, $\rho = 8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Угол отклонения пружинок от вертикали, $\alpha$

Решение:

После включения магнитного поля проводник отклоняется и приходит в состояние равновесия. В этом состоянии на него действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_g$, направленная вертикально вниз, сила Ампера $\vec{F}_A$, действующая со стороны магнитного поля, и суммарная сила упругости двух пружин $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль пружин.

Поскольку пружинки отклоняются от вертикали, это означает, что сила Ампера направлена горизонтально. Это возможно, если вертикальное магнитное поле перпендикулярно горизонтальному проводнику с током. Угол между направлением тока и вектором магнитной индукции составляет $90^\circ$.

1. Вычислим массу проводника:

Объём проводника $V = S \cdot L$.

Масса проводника $m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot L$.

$m = (8 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot (1,25 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2) \cdot 1 \text{ м} = 10 \cdot 10^{-2} \text{ кг} = 0,1 \text{ кг}$

2. Найдём силу тяжести, действующую на проводник:

$F_g = m \cdot g = 0,1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 1 \text{ Н}$

3. Найдём силу Ампера, действующую на проводник:

$F_A = I \cdot B \cdot L \cdot \sin(90^\circ) = I \cdot B \cdot L$

$F_A = 10 \text{ А} \cdot 0,1 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м} = 1 \text{ Н}$

4. Рассмотрим условие равновесия проводника. Сумма всех сил, действующих на проводник, равна нулю. $\vec{F}_g + \vec{F}_A + \vec{F}_{упр} = 0$.

Силу упругости $\vec{F}_{упр}$ можно разложить на две составляющие: вертикальную $F_{упр, y}$, которая уравновешивает силу тяжести, и горизонтальную $F_{упр, x}$, которая уравновешивает силу Ампера.

Пусть $\alpha$ — угол отклонения пружинок от вертикали. Тогда:

$F_{упр, y} = F_{упр} \cdot \cos(\alpha)$

$F_{упр, x} = F_{упр} \cdot \sin(\alpha)$

Из условия равновесия:

$F_{упр, y} = F_g$

$F_{упр, x} = F_A$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{F_{упр} \cdot \sin(\alpha)}{F_{упр} \cdot \cos(\alpha)} = \frac{F_A}{F_g}$

$\text{tg}(\alpha) = \frac{F_A}{F_g}$

Подставим вычисленные значения сил:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{1 \text{ Н}}{1 \text{ Н}} = 1$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \text{arctg}(1) = 45^\circ$

Проверим согласованность данных. Суммарная сила упругости двух пружин, согласно закону Гука, равна:

$F_{упр} = 2 \cdot k \cdot \Delta l = 2 \cdot 100 \text{ Н/м} \cdot 7 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,4 \text{ Н}$

С другой стороны, из векторной суммы сил $F_{упр}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $F_g$ и $F_A$:

$F_{упр} = \sqrt{F_g^2 + F_A^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,414 \text{ Н}$

Значения $1,4 \text{ Н}$ и $1,414 \text{ Н}$ близки, что подтверждает правильность расчетов. Небольшое расхождение связано с округлением исходных данных в условии задачи.

Ответ: пружинки отклонятся от вертикали на угол $45^\circ$.