Номер 5, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. Горизонтальный проводящий стержень прямоугольного сечения поступательно движется вверх с ускорением по гладкой наклонной плоскости в вертикальном однородном магнитном поле (см. рис.). По стержню идёт ток. Сила тока $I = 4\text{ А}$. Угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$. Отношение массы стержня к его длине $m/L = 0.1\text{ кг/м}$. Ускорение стержня $a = 1.9\text{ м/с}^2$. Чему равен модуль индукции магнитного поля?

Дано:

Найти:

Решение:

На стержень, движущийся вверх по гладкой наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, перпендикулярная наклонной плоскости; и сила Ампера $\vec{F_A}$, действующая на проводник с током в магнитном поле.

Магнитное поле $\vec{B}$ направлено вертикально вверх, а ток $I$ течет по горизонтальному стержню. Следовательно, вектор магнитной индукции $\vec{B}$ перпендикулярен направлению тока (угол между ними $90^\circ$). По правилу левой руки, сила Ампера $\vec{F_A}$ направлена горизонтально и перпендикулярно стержню. Для того чтобы стержень двигался вверх по наклонной плоскости, сила Ампера должна иметь составляющую, направленную вверх вдоль плоскости. Модуль силы Ампера равен:

$F_A = I \cdot B \cdot L \cdot \sin(90^\circ) = IBL$

Запишем второй закон Ньютона для стержня в проекции на ось $Ox$, направленную вдоль наклонной плоскости вверх. Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль этой оси.

$ma = \sum F_x$

Проекция силы Ампера на ось $Ox$ равна $F_{Ax} = F_A \cos(\alpha)$. Эта сила направлена вверх вдоль плоскости. Проекция силы тяжести на ось $Ox$ равна $F_{gx} = -mg \sin(\alpha)$ и направлена вниз вдоль плоскости. Сила нормальной реакции перпендикулярна оси $Ox$, поэтому ее проекция равна нулю.

Таким образом, уравнение движения в проекции на ось $Ox$ имеет вид:

$ma = F_A \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

Подставим выражение для силы Ампера в уравнение:

$ma = IBL \cos(\alpha) - mg \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения величину индукции магнитного поля $B$:

$IBL \cos(\alpha) = ma + mg \sin(\alpha)$

$B = \frac{ma + mg \sin(\alpha)}{IL \cos(\alpha)}$

Разделим числитель и знаменатель на длину стержня $L$, чтобы использовать заданное в условии отношение $\frac{m}{L}$ (линейную плотность):

$B = \frac{\frac{m}{L}(a + g \sin(\alpha))}{I \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$B = \frac{0,1 \text{ кг/м} \cdot (1,9 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ))}{4 \text{ А} \cdot \cos(30^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 0,5$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$B = \frac{0,1 \cdot (1,9 + 9,8 \cdot 0,5)}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0,1 \cdot (1,9 + 4,9)}{2\sqrt{3}} = \frac{0,1 \cdot 6,8}{2\sqrt{3}} = \frac{0,68}{2\sqrt{3}} = \frac{0,34}{\sqrt{3}} \approx 0,196 \text{ Тл}$

Округлим результат до двух значащих цифр, так как ускорение задано с точностью до двух значащих цифр.

$B \approx 0,20 \text{ Тл}$

Ответ: модуль индукции магнитного поля равен приблизительно $0,20 \text{ Тл}$.