Номер 1, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Два первоначально покоившихся электрона ускоряются в электрическом поле: первый — в поле с разностью потенциалов $U$, второй — $4U$. Ускорившиеся электроны попадают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения электронов. Чему равно отношение радиусов кривизны траекторий первого и второго электронов в магнитном поле?

1) $\frac{1}{4}$

2) $\frac{1}{2}$

3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4) $\sqrt{2}$

Дано:

Разность потенциалов для первого электрона: $U_1 = U$

Разность потенциалов для второго электрона: $U_2 = 4U$

Начальные скорости электронов равны нулю: $v_{01} = v_{02} = 0$

Масса электрона: $m$

Заряд электрона: $e$

Электроны влетают в однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно линиям индукции.

Найти:

Отношение радиусов кривизны траекторий $\frac{R_1}{R_2}$.

Решение:

Сначала найдем скорости электронов после того, как они были ускорены электрическим полем. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершенная электрическим полем над электроном, равна изменению его кинетической энергии. Так как электроны первоначально покоились, их начальная кинетическая энергия равна нулю.

Работа электрического поля: $A = eU$.

Кинетическая энергия: $K = \frac{mv^2}{2}$.

Следовательно, $eU = \frac{mv^2}{2}$.

Для первого электрона, ускоренного разностью потенциалов $U_1 = U$:

$eU = \frac{mv_1^2}{2} \implies v_1 = \sqrt{\frac{2eU}{m}}$

Для второго электрона, ускоренного разностью потенциалов $U_2 = 4U$:

$e(4U) = \frac{mv_2^2}{2} \implies v_2 = \sqrt{\frac{8eU}{m}} = 2\sqrt{\frac{2eU}{m}}$

Из полученных выражений видно, что скорость второго электрона в два раза больше скорости первого: $v_2 = 2v_1$.

После ускорения электроны попадают в однородное магнитное поле, где на них действует сила Лоренца. Так как скорость электронов перпендикулярна линиям магнитной индукции, сила Лоренца будет максимальной и будет направлена перпендикулярно вектору скорости, играя роль центростремительной силы. Это заставит электроны двигаться по окружности.

Сила Лоренца: $F_L = evB$.

Центростремительная сила, согласно второму закону Ньютона: $F_{цс} = \frac{mv^2}{R}$.

Приравняем эти две силы:

$evB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим радиус траектории $R$:

$R = \frac{mv}{eB}$

Теперь мы можем найти отношение радиусов траекторий первого и второго электронов.

Радиус для первого электрона:

$R_1 = \frac{mv_1}{eB}$

Радиус для второго электрона:

$R_2 = \frac{mv_2}{eB}$

Найдем их отношение:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{mv_1}{eB}}{\frac{mv_2}{eB}} = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим ранее найденное соотношение скоростей $v_2 = 2v_1$:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{v_1}{2v_1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.