Номер 5, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

5. Электрон влетает в конденсатор со скоростью $v_0$ параллельно его пластинам, имеющим длину $l$, а вылетает под углом $\alpha$ к первоначальному направлению движения. Чему должна быть равна индукция магнитного поля, направленного перпендикулярно начальной скорости, при которой направление движения электрона не изменится?

Дано:

Начальная скорость электрона: $v_0$

Длина пластин конденсатора: $l$

Угол вылета электрона из конденсатора (в отсутствие магнитного поля): $\alpha$

Заряд электрона (по модулю): $e$

Масса электрона: $m$

Найти:

Индукция магнитного поля: $B$

Решение:

Задачу можно решить в два этапа. Сначала, из условия движения электрона в электрическом поле конденсатора, мы найдем напряженность этого поля $E$. Затем, мы определим, какая индукция магнитного поля $B$ необходима для компенсации действия электрического поля, чтобы электрон двигался прямолинейно.

1. Движение электрона в конденсаторе без магнитного поля.

Движение электрона можно разложить на две составляющие: вдоль пластин (ось X) и перпендикулярно им (ось Y).Вдоль оси X движение равномерное, так как в этом направлении силы не действуют. Время, за которое электрон пролетает конденсатор, равно:

$t = \frac{l}{v_0}$

Вдоль оси Y на электрон действует постоянная электрическая сила $F_e = eE$, где $E$ – напряженность электрического поля. Эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F_e}{m} = \frac{eE}{m}$

За время $t$ электрон приобретает вертикальную составляющую скорости $v_y$:

$v_y = a_y t = \frac{eE}{m} \cdot \frac{l}{v_0} = \frac{eEl}{mv_0}$

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается неизменной и равной $v_0$. Угол $\alpha$, под которым электрон вылетает, определяется отношением составляющих скорости:

$\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\frac{eEl}{mv_0}}{v_0} = \frac{eEl}{mv_0^2}$

Из этого выражения найдем напряженность электрического поля $E$:

$E = \frac{mv_0^2 \tan\alpha}{el}$

2. Условие прямолинейного движения в скрещенных полях.

Чтобы направление движения электрона не изменялось, результирующая сила, действующая на него, должна быть равна нулю. На электрон действуют электрическая сила $F_e$ и магнитная сила (сила Лоренца) $F_м$. Для того чтобы они скомпенсировали друг друга, они должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Электрическая сила: $F_e = eE$

Магнитная сила, действующая на заряд, движущийся перпендикулярно магнитному полю: $F_м = ev_0B$

Приравняем их модули:

$F_e = F_м$

$eE = ev_0B$

Отсюда можно выразить искомую индукцию магнитного поля $B$:

$B = \frac{E}{v_0}$

Подставим в эту формулу выражение для $E$, полученное в первом пункте:

$B = \frac{1}{v_0} \cdot \left( \frac{mv_0^2 \tan\alpha}{el} \right) = \frac{mv_0 \tan\alpha}{el}$

Ответ: $B = \frac{mv_0 \tan\alpha}{el}$