Номер 3, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Заряженные частицы, заряд которых $3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл, ускоряются в циклотроне в однородном магнитном поле с индукцией $10^{-1}$ Тл и частотой ускоряющего напряжения 6 МГц. Определите кинетическую энергию частиц в момент, когда они движутся по дуге радиусом 2 м.

Дано:

$q = 3,2 \cdot 10^{-19}$ Кл
$B = 10^{-1} \text{ Тл} = 0,1$ Тл
$\nu = 6 \text{ МГц} = 6 \cdot 10^6$ Гц
$R = 2$ м

Найти:

$E_k$ — ?

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F_Л$. В циклотроне эта сила перпендикулярна скорости частицы и сообщает ей центростремительное ускорение, заставляя двигаться по окружности. Таким образом, сила Лоренца выполняет роль центростремительной силы $F_ц$:

$F_Л = F_ц$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

где $q$ — заряд частицы, $v$ — ее скорость, $B$ — индукция магнитного поля, $m$ — масса частицы, $R$ — радиус траектории.

Условием эффективного ускорения частиц в циклотроне является резонанс: частота изменения полярности ускоряющего напряжения $\nu$ должна быть равна циклотронной частоте обращения частицы $\nu_ц$.

$\nu = \nu_ц$

Циклотронная частота связана со скоростью и радиусом формулой $\nu_ц = \frac{v}{2\pi R}$. Отсюда можно выразить скорость частицы на траектории с радиусом $R$:

$v = 2\pi\nu R$

Кинетическая энергия частицы определяется формулой:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Массу частицы $m$ можно выразить из формулы для циклотронной частоты $\nu_ц = \frac{qB}{2\pi m}$:

$m = \frac{qB}{2\pi\nu_ц} = \frac{qB}{2\pi\nu}$

Подставим выражения для массы $m$ и скорости $v$ в формулу кинетической энергии:

$E_k = \frac{1}{2} \left( \frac{qB}{2\pi\nu} \right) (2\pi\nu R)^2 = \frac{1}{2} \frac{qB}{2\pi\nu} (4\pi^2\nu^2 R^2) = qB\pi\nu R^2$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$E_k = (3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (0,1 \text{ Тл}) \cdot \pi \cdot (6 \cdot 10^6 \text{ Гц}) \cdot (2 \text{ м})^2$

$E_k = 3,2 \cdot 0,1 \cdot \pi \cdot 6 \cdot 4 \cdot 10^{-19} \cdot 10^6 \text{ Дж} = 7,68\pi \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

$E_k \approx 7,68 \cdot 3,1416 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 24,127 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 2,41 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$

Ответ: $E_k \approx 2,41 \cdot 10^{-12} \text{ Дж}$.