Номер 3, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией $B = 4 \cdot 10^{-3}$ Тл (см. рис.). Через какое минимальное время электрон вновь окажется в указанной точке? Заряд электрона $q_e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл и его масса $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг.

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 4 \cdot 10^{-3}$ Тл
Заряд электрона $q_e = -1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл (по модулю $|q_e| = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл)
Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

Найти:

Минимальное время, через которое электрон вернется в исходную точку: $t_{min}$

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Величина этой силы определяется по формуле:$F_Л = |q_e|vB\sin\alpha$где $|q_e|$ – модуль заряда электрона, $v$ – его скорость, $B$ – индукция магнитного поля, а $\alpha$ – угол между вектором скорости $\vec{v}$ и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Из рисунка видно, что вектор скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции, следовательно, угол $\alpha = 90^\circ$, а $\sin90^\circ = 1$. Таким образом, формула для силы Лоренца упрощается:$F_Л = |q_e|vB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряженной частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{r}$, заставляя его двигаться по окружности радиусом $r$.Запишем второй закон Ньютона для электрона:$F_Л = m_e a_ц$$|q_e|vB = m_e\frac{v^2}{r}$

Минимальное время, через которое электрон вновь окажется в указанной точке, – это время одного полного оборота по окружности, то есть период обращения $T$. Период связан со скоростью и радиусом окружности соотношением:$T = \frac{2\pi r}{v}$

Выразим радиус $r$ из уравнения второго закона Ньютона:$r = \frac{m_e v}{|q_e|B}$

Теперь подставим это выражение для радиуса в формулу для периода:$T = \frac{2\pi}{v} \cdot \left(\frac{m_e v}{|q_e|B}\right) = \frac{2\pi m_e}{|q_e|B}$

Как видно из полученной формулы, период обращения электрона в однородном магнитном поле не зависит от его скорости и радиуса траектории.Искомое минимальное время $t_{min}$ равно периоду $T$. Подставим числовые значения в формулу:$t_{min} = T = \frac{2 \cdot 3,1416 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{57,177 \cdot 10^{-31}}{6,4 \cdot 10^{-22}} \text{ с} \approx 8,93 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Ответ: $t_{min} \approx 8,93 \cdot 10^{-9}$ с (или 8,93 нс).