Номер 4, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Заряженный шарик влетает в область магнитного поля с индукцией $B = 0,2 \text{ Тл}$, имея скорость $v = 1000 \text{ м/с}$, перпендикулярную вектору магнитной индукции. Какой путь он пройдёт к тому моменту, когда вектор его скорости повернётся на $1^\circ$? Масса шарика $m = 0,01 \text{ г}$, заряд $q = 500 \text{ мкКл}$.

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 0,2$ Тл
Скорость шарика $v = 1000$ м/с
Масса шарика $m = 0,01 \text{ г} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 10^{-5} \text{ кг}$
Заряд шарика $q = 500 \text{ мкКл} = 500 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ Кл}$
Угол поворота вектора скорости $\phi = 1^\circ$

Найти:

Путь $s$

Решение:

На заряженный шарик, влетающий в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца. Величина этой силы определяется формулой:

$F_Л = qvB\sin\alpha$

Поскольку шарик влетает в поле перпендикулярно вектору магнитной индукции, угол $\alpha$ между скоростью $v$ и индукцией $B$ равен $90^\circ$. Так как $\sin(90^\circ) = 1$, формула упрощается:

$F_Л = qvB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому она не изменяет модуль скорости, а только ее направление. В результате шарик движется по окружности. Сила Лоренца в данном случае является центростремительной силой:

$F_Л = F_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $R$ — радиус окружности, по которой движется шарик.

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, чтобы найти радиус траектории:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда радиус $R$:

$R = \frac{mv}{qB}$

Подставим числовые значения для вычисления радиуса:

$R = \frac{10^{-5} \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{-4} \text{ Кл} \cdot 0,2 \text{ Тл}} = \frac{10^{-2}}{1 \cdot 10^{-4}} = 100$ м.

Путь $s$, пройденный шариком, представляет собой длину дуги окружности. Длина дуги связана с радиусом $R$ и центральным углом $\phi$ (в радианах) соотношением:

$s = R \cdot \phi_{рад}$

Нам дан угол в градусах $\phi = 1^\circ$. Переведем его в радианы, зная, что $180^\circ = \pi$ рад:

$\phi_{рад} = 1^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{180}$ рад.

Теперь можем найти пройденный путь $s$:

$s = 100 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{18} = \frac{5\pi}{9}$ м.

Вычислим приближенное значение, принимая $\pi \approx 3,14159$:

$s \approx \frac{5 \cdot 3,14159}{9} \approx 1,745$ м.

Округлим до сотых: $s \approx 1,75$ м.

Ответ:

$s = \frac{5\pi}{9} \text{ м} \approx 1,75 \text{ м.}$