Номер 4, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. Протон влетает в область однородного магнитного поля шириной $L$. Индукция магнитного поля $\vec{B}$. Скорость $\vec{v}$ протона перпендикулярна индукции поля и границе области поля. Под каким углом $\alpha$ к первоначальному направлению движения протон вылетит из области поля?

Дано:

Ширина области однородного магнитного поля: $L$
Индукция магнитного поля: $B$
Скорость протона: $v$
Масса протона: $m_p$
Заряд протона: $e$ (элементарный заряд)
Условия: вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен вектору индукции $\vec{B}$ и границе области поля.

Найти:

Угол отклонения протона от первоначального направления $\alpha$.

Решение:

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как скорость протона $\vec{v}$ перпендикулярна индукции магнитного поля $\vec{B}$, модуль силы Лоренца определяется формулой: $F_Л = |q|vB\sin(90^\circ) = evB$ где $e$ — элементарный заряд (заряд протона).

Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она не изменяет модуль скорости, а только ее направление. Эта сила сообщает протону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$, заставляя его двигаться по дуге окружности радиусом $R$.

Согласно второму закону Ньютона: $F_Л = m_p a_ц$ $evB = m_p \frac{v^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус траектории протона: $R = \frac{m_p v}{eB}$

Поскольку протон влетает в поле перпендикулярно границе, его траектория представляет собой дугу окружности, центр которой лежит на прямой, совпадающей с границей влета. Угол отклонения $\alpha$ — это угол между вектором скорости в момент вылета из поля и вектором начальной скорости. Геометрически этот угол равен центральному углу, который описывает радиус-вектор протона за время его движения в поле.

Далее возможны два случая.

1. Ширина поля $L$ не превышает радиус траектории $R$ ($L \le R$).
В этом случае протон вылетает из поля через противоположную границу. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром окружности траектории C, точкой вылета P и проекцией точки C на линию, параллельную начальной скорости и проходящую через точку P. В этом треугольнике гипотенузой является радиус $R$, а катет, противолежащий углу отклонения $\alpha$, равен ширине поля $L$. Следовательно, мы можем записать: $\sin\alpha = \frac{L}{R}$

Подставим в это выражение найденный ранее радиус $R$: $\sin\alpha = \frac{L}{\frac{m_p v}{eB}} = \frac{LeB}{m_p v}$

Отсюда находим угол $\alpha$: $\alpha = \arcsin\left(\frac{LeB}{m_p v}\right)$ Это решение справедливо при условии $L/R \le 1$, то есть $LeB \le m_p v$.

2. Ширина поля $L$ больше радиуса траектории $R$ ($L > R$).
В этом случае протон не сможет достичь противоположной границы поля. Он опишет полуокружность радиусом $R$ и вылетит из магнитного поля через ту же границу, в которую влетел. Его скорость в момент вылета будет направлена в сторону, противоположную начальной. Таким образом, вектор скорости повернется на 180 градусов. Угол отклонения в этом случае составит: $\alpha = \pi$ (в радианах) или $180^\circ$. Это происходит при условии $L/R > 1$, то есть $LeB > m_p v$.

Ответ: Угол отклонения $\alpha$ зависит от соотношения между параметрами системы:

• Если $LeB \le m_p v$ (то есть $L \le R$), то протон вылетит через противоположную границу поля под углом $\alpha = \arcsin\left(\frac{LeB}{m_p v}\right)$ к первоначальному направлению.
• Если $LeB > m_p v$ (то есть $L > R$), то протон совершит разворот и вылетит через ту же границу в обратном направлении, и угол отклонения будет равен $\alpha = \pi$.