Номер 2, страница 26 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией $10^{-2}$ Тл. В некоторый момент времени вектор его скорости, равной $10^6$ м/с, составляет угол $30^\circ$ с направлением магнитного поля. Вычислите радиус $R$ и шаг $h$ винтовой линии, по которой движется электрон.

Дано:

Найти:

Решение:

Когда заряженная частица, в данном случае электрон, влетает в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, ее движение представляет собой винтовую линию. Это движение можно рассматривать как сумму двух движений: равномерного прямолинейного движения вдоль поля и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

Для анализа разложим вектор скорости $v$ на две составляющие:

1. Составляющая скорости, параллельная магнитному полю, $v_\|$. Она отвечает за поступательное движение электрона вдоль линий поля. $v_\| = v \cos(\alpha)$. На эту составляющую сила Лоренца не действует, поэтому движение вдоль поля равномерное.

2. Составляющая скорости, перпендикулярная магнитному полю, $v_\perp$. Она отвечает за вращательное движение электрона. $v_\perp = v \sin(\alpha)$.

Сила Лоренца $F_Л$, действующая на электрон, перпендикулярна как вектору магнитной индукции $B$, так и вектору скорости $v$. Ее модуль определяется перпендикулярной составляющей скорости $v_\perp$: $F_Л = |e| v_\perp B$.

Эта сила является центростремительной силой $F_ц$, которая заставляет электрон двигаться по окружности радиусом $R$: $F_ц = \frac{m_e v_\perp^2}{R}$.

Приравняв выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, найдем радиус $R$:

$|e| v_\perp B = \frac{m_e v_\perp^2}{R}$

$R = \frac{m_e v_\perp}{|e| B} = \frac{m_e v \sin(\alpha)}{|e| B}$

Подставим известные значения, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 0.5$:

$R = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с}) \cdot 0.5}{(1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (10^{-2} \text{ Тл})} = \frac{4.555 \cdot 10^{-25}}{1.6 \cdot 10^{-21}} \approx 2.85 \cdot 10^{-4}$ м.

Шаг винтовой линии $h$ — это расстояние, которое электрон проходит вдоль линий магнитного поля за время одного полного оборота (период $T$). Период обращения можно найти из формулы для скорости движения по окружности $v_\perp = \frac{2\pi R}{T}$:

$T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi}{v_\perp} \cdot \frac{m_e v_\perp}{|e| B} = \frac{2\pi m_e}{|e| B}$

Теперь можем найти шаг винтовой линии $h$:

$h = v_\| \cdot T = (v \cos(\alpha)) \cdot \frac{2\pi m_e}{|e| B}$

Подставим числовые значения, учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$h = (10^6 \text{ м/с} \cdot 0.866) \cdot \frac{2 \pi \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 10^{-2} \text{ Тл}} \approx 0.866 \cdot 10^6 \cdot \frac{5.72 \cdot 10^{-30}}{1.6 \cdot 10^{-21}} \approx 0.866 \cdot 10^6 \cdot 3.58 \cdot 10^{-9} \text{ с} \approx 3.1 \cdot 10^{-3}$ м.

Ответ: радиус винтовой линии $R \approx 2.85 \cdot 10^{-4}$ м (или 0.285 мм), шаг винтовой линии $h \approx 3.1 \cdot 10^{-3}$ м (или 3.1 мм).