Номер 2.56, страница 45 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в газах и в вакууме - номер 2.56, страница 45.

Условие.

2.56**. Вакуумный диод, у которого анод и катод — параллельные пластины, работает в режиме, когда между силой тока и напряжением выполняется соотношение $I = \alpha U^{3/2}$, где $\alpha$ — постоянная величина. Во сколько раз увеличится сила, действующая на анод вследствие ударов электронов, если напряжение на диоде увеличить в 2 раза? Начальную скорость вылетающих с катода электронов считать равной нулю.

Решение.

Дано:

$I = \alpha U^{3/2}$

$U_2 = 2U_1$

$v_0 = 0$

Найти:

$\frac{F_2}{F_1}$

Решение:

Сила $\text{F}$, действующая на анод, создается ударами электронов. По второму закону Ньютона, сила равна скорости изменения импульса. За время $\Delta t$ на анод попадает $\text{N}$ электронов, создавая ток $I = \frac{N \cdot e}{\Delta t}$, где $\text{e}$ — заряд электрона. Отсюда количество электронов, ударяющихся об анод в единицу времени, равно $\frac{N}{\Delta t} = \frac{I}{e}$.

Каждый электрон ускоряется электрическим полем между катодом и анодом. Согласно закону сохранения энергии, работа поля $\text{eU}$ переходит в кинетическую энергию электрона $\frac{m_e v^2}{2}$ (так как начальная скорость $v_0 = 0$):

$eU = \frac{m_e v^2}{2}$

где $m_e$ - масса электрона, а $\text{v}$ - его скорость непосредственно перед ударом об анод. Выразим скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

При ударе об анод электрон передает ему свой импульс $p = m_e v$. Суммарный импульс, переданный аноду за время $\Delta t$, равен $\Delta P = N \cdot m_e v$. Тогда сила, действующая на анод, равна:

$F = \frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{N m_e v}{\Delta t} = \left(\frac{N}{\Delta t}\right) m_e v = \frac{I}{e} m_e v$

Теперь подставим в это выражение зависимости для силы тока $\text{I}$ из условия задачи и для скорости $\text{v}$, полученной из закона сохранения энергии:

$F = \frac{(\alpha U^{3/2})}{e} m_e \left(\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}\right)$

Упростим полученное выражение для силы:

$F = \frac{\alpha U^{3/2} m_e}{e} \sqrt{\frac{2e}{m_e}} \sqrt{U} = \alpha \frac{m_e}{e} \sqrt{\frac{2e}{m_e}} U^{3/2} U^{1/2} = \alpha \sqrt{\frac{m_e^2 \cdot 2e}{e^2 \cdot m_e}} U^{2} = \alpha \sqrt{\frac{2m_e}{e}} U^2$

Из полученной формулы видно, что сила, действующая на анод, пропорциональна квадрату напряжения: $F \propto U^2$.

Найдем отношение силы $F_2$ (при напряжении $U_2$) к силе $F_1$ (при напряжении $U_1$), учитывая, что по условию $U_2 = 2U_1$:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\alpha \sqrt{\frac{2m_e}{e}} U_2^2}{\alpha \sqrt{\frac{2m_e}{e}} U_1^2} = \left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2 = \left(\frac{2U_1}{U_1}\right)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: Сила, действующая на анод, увеличится в 4 раза.