Номер 3.173, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Энергия магнитного поля - номер 3.173, страница 82.

Условие.

3.173**. В электрической цепи (рис. 3.77) ключ К в начальный момент замкнут, по цепи идёт постоянный ток. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_2$ после размыкания ключа? Индуктивность катушки равна $\text{L}$, ЭДС источника тока равна $\mathcal{E}$. Активным сопротивлением катушки и внутренним сопротивлением источника тока пренебречь. Сопротивления резисторов $R_1 = R_3 = R, R_2 = 2R$.

Рис. 3.77

Решение.

Дано:

Индуктивность катушки: $\text{L}$

ЭДС источника тока: $\mathcal{E}$

Сопротивления резисторов: $R_1 = R_3 = R$, $R_2 = 2R$

Активным сопротивлением катушки и внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Найти:

Количество теплоты, выделившееся на резисторе R2 после размыкания ключа: $Q_2$

Решение:

1. Рассмотрим состояние цепи до размыкания ключа K. Поскольку по цепи идет постоянный ток, катушка индуктивности L ведет себя как проводник с нулевым сопротивлением (согласно условию). Таким образом, резисторы R2 и R3 соединены параллельно.

Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи, состоящего из R2 и R3:

$R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{2R \cdot R}{2R + R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$

Этот участок соединен последовательно с резистором R1. Общее сопротивление внешней цепи равно:

$R_{общ} = R_1 + R_{23} = R + \frac{2}{3}R = \frac{5}{3}R$

По закону Ома для полной цепи (внутренним сопротивлением пренебрегаем), общий ток, текущий от источника, равен:

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{\frac{5}{3}R} = \frac{3\mathcal{E}}{5R}$

Напряжение на параллельном участке (на резисторах R2 и R3) равно:

$U_{23} = I_{общ} \cdot R_{23} = \frac{3\mathcal{E}}{5R} \cdot \frac{2}{3}R = \frac{2\mathcal{E}}{5}$

Теперь найдем ток, протекающий через катушку индуктивности L. Этот ток равен току в ветви с резистором R3:

$I_L = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{2\mathcal{E}/5}{R} = \frac{2\mathcal{E}}{5R}$

В момент перед размыканием ключа в катушке накоплена энергия магнитного поля:

$W_L = \frac{L I_L^2}{2} = \frac{L}{2} \left(\frac{2\mathcal{E}}{5R}\right)^2 = \frac{L}{2} \frac{4\mathcal{E}^2}{25R^2} = \frac{2L\mathcal{E}^2}{25R^2}$

2. После размыкания ключа K источник тока и резистор R1 отключаются от цепи. Остается замкнутый контур, состоящий из катушки L и резисторов R2 и R3, соединенных последовательно.

Вся энергия, запасенная в катушке, $W_L$, выделится в виде тепла на резисторах R2 и R3. Общее количество выделившейся теплоты $Q_{общ}$ равно:

$Q_{общ} = W_L = \frac{2L\mathcal{E}^2}{25R^2}$

Поскольку резисторы R2 и R3 соединены последовательно, через них будет протекать один и тот же ток. Количество теплоты, выделяющееся на каждом из резисторов, пропорционально их сопротивлению. Таким образом, отношение количеств теплоты будет равно отношению сопротивлений:

$\frac{Q_2}{Q_3} = \frac{R_2}{R_3}$

Количество теплоты $Q_2$, выделившееся на резисторе R2, составляет долю от общего количества теплоты:

$Q_2 = Q_{общ} \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_3}$

Подставим известные значения сопротивлений и найденное значение $Q_{общ}$:

$Q_2 = \frac{2L\mathcal{E}^2}{25R^2} \cdot \frac{2R}{2R + R} = \frac{2L\mathcal{E}^2}{25R^2} \cdot \frac{2R}{3R} = \frac{2L\mathcal{E}^2}{25R^2} \cdot \frac{2}{3}$

$Q_2 = \frac{4L\mathcal{E}^2}{75R^2}$

Ответ: $Q_2 = \frac{4L\mathcal{E}^2}{75R^2}$