Номер 3.172, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Энергия магнитного поля - номер 3.172, страница 82.

Условие.

3.172**. ЭДС источника тока в цепи, схема которой показана на рисунке 3.76, равна $12 \, \text{В}$. Сопротивлением источника тока и катушки можно пренебречь. Какое количество теплоты выделится на резисторе $R_2$ после размыкания ключа К, если:

а) $R_1 = 4 \, \text{Ом}$, $R_2 = 2 \, \text{Ом}$, $L = 2 \, \text{мГн}$, $C = 6 \, \text{мкФ};$

б) $R_1 = 2 \, \text{Ом}$, $R_2 = 8 \, \text{Ом}$, $L = 5 \, \text{мкГн}$, $C = 100 \, \text{мкФ}?$

Рис. 3.76

Решение.

Дано:

ЭДС источника, $\mathcal{E} = 12$ В

а)

$R_1 = 4$ Ом

$R_2 = 2$ Ом

$L = 2$ мГн = $2 \times 10^{-3}$ Гн

$C = 6$ мкФ = $6 \times 10^{-6}$ Ф

б)

$R_1 = 2$ Ом

$R_2 = 8$ Ом

$L = 5$ мкГн = $5 \times 10^{-6}$ Гн

$C = 100$ мкФ = $100 \times 10^{-6}$ Ф

Найти:

Количество теплоты, выделившееся на резисторе $R_2$ после размыкания ключа K, $Q_2$.

Решение:

Когда ключ K замкнут в течение длительного времени, в цепи устанавливается постоянный ток. В режиме постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв цепи, поэтому ток через ветвь с конденсатором C и резистором $R_2$ не течет. Напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника: $U_C = \mathcal{E}$.

Катушка индуктивности в режиме постоянного тока представляет собой проводник с нулевым сопротивлением (по условию). Ток течет через ветвь с резистором $R_1$ и катушкой $\text{L}$. Сила этого тока определяется законом Ома: $I_L = \frac{\mathcal{E}}{R_1}$.

В начальный момент времени (перед размыканием ключа) энергия, запасенная в конденсаторе, равна $W_C = \frac{C U_C^2}{2} = \frac{C \mathcal{E}^2}{2}$.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности, равна $W_L = \frac{L I_L^2}{2} = \frac{L}{2} \left(\frac{\mathcal{E}}{R_1}\right)^2$.

Общая энергия, запасенная в цепи, равна сумме энергий конденсатора и катушки: $W_{общ} = W_C + W_L = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} + \frac{L \mathcal{E}^2}{2 R_1^2}$.

После размыкания ключа K источник тока отключается от цепи, и образуется замкнутый контур, состоящий из последовательно соединенных элементов $C, R_2, L, R_1$. Запасенная в конденсаторе и катушке энергия полностью выделяется в виде теплоты на резисторах $R_1$ и $R_2$.

Пусть $Q_1$ и $Q_2$ - количества теплоты, выделившиеся на резисторах $R_1$ и $R_2$ соответственно. По закону сохранения энергии, $Q_1 + Q_2 = W_{общ}$.

В процессе разряда через последовательно соединенные резисторы $R_1$ и $R_2$ протекает один и тот же ток $i(t)$. Мгновенная мощность, выделяемая на резисторах, равна $P_1(t) = i(t)^2 R_1$ и $P_2(t) = i(t)^2 R_2$.

Количество теплоты, выделившееся на каждом резисторе, равно $Q = \int_0^\infty P(t) dt$.

Таким образом, отношение количеств теплоты равно отношению сопротивлений:

$\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{\int_0^\infty i(t)^2 R_2 dt}{\int_0^\infty i(t)^2 R_1 dt} = \frac{R_2}{R_1}$.

Отсюда $Q_1 = Q_2 \frac{R_1}{R_2}$.

Подставим это в закон сохранения энергии:

$Q_2 \frac{R_1}{R_2} + Q_2 = W_{общ}$

$Q_2 \left(\frac{R_1}{R_2} + 1\right) = W_{общ}$

$Q_2 \frac{R_1 + R_2}{R_2} = W_{общ}$

Тогда количество теплоты, выделившееся на резисторе $R_2$, равно:

$Q_2 = W_{общ} \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \left(\frac{C \mathcal{E}^2}{2} + \frac{L \mathcal{E}^2}{2 R_1^2}\right) \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E}^2}{2} \left(C + \frac{L}{R_1^2}\right) \frac{R_2}{R_1 + R_2}$.

Теперь произведем вычисления для каждого случая.

а)

$Q_2 = \frac{(12 \text{ В})^2}{2} \left(6 \times 10^{-6} \text{ Ф} + \frac{2 \times 10^{-3} \text{ Гн}}{(4 \text{ Ом})^2}\right) \frac{2 \text{ Ом}}{4 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}}$

$Q_2 = \frac{144}{2} \left(6 \times 10^{-6} + \frac{2 \times 10^{-3}}{16}\right) \frac{2}{6}$

$Q_2 = 72 \left(6 \times 10^{-6} + 0.125 \times 10^{-3}\right) \frac{1}{3}$

$Q_2 = 24 \left(6 \times 10^{-6} + 125 \times 10^{-6}\right)$

$Q_2 = 24 \times 131 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 3144 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 3.144 \text{ мДж}$.

Ответ: $Q_2 = 3.144$ мДж.

б)

$Q_2 = \frac{(12 \text{ В})^2}{2} \left(100 \times 10^{-6} \text{ Ф} + \frac{5 \times 10^{-6} \text{ Гн}}{(2 \text{ Ом})^2}\right) \frac{8 \text{ Ом}}{2 \text{ Ом} + 8 \text{ Ом}}$

$Q_2 = \frac{144}{2} \left(100 \times 10^{-6} + \frac{5 \times 10^{-6}}{4}\right) \frac{8}{10}$

$Q_2 = 72 \left(100 \times 10^{-6} + 1.25 \times 10^{-6}\right) \times 0.8$

$Q_2 = 72 \times 101.25 \times 10^{-6} \times 0.8 \text{ Дж}$

$Q_2 = 57.6 \times 101.25 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 5832 \times 10^{-6} \text{ Дж} = 5.832 \text{ мДж}$.

Ответ: $Q_2 = 5.832$ мДж.