Номер 3.171, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Энергия магнитного поля - номер 3.171, страница 82.

Условие.

3.171. Соленоид длиной 50 см и диаметром 0,8 см имеет 20 000 витков медного провода и находится под постоянным напряжением. За какое время в обмотке соленоида выделится количество теплоты, равное энергии магнитного поля в соленоиде?

Решение.

Дано:

Длина соленоида $l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Диаметр соленоида $D = 0.8 \text{ см} = 0.008 \text{ м}$

Число витков $N = 20000$

Материал провода - медь, удельное сопротивление $\rho = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}$

Условие: $Q = W_m$

Найти:

Время $\text{t}$

Решение:

По условию задачи, количество теплоты $\text{Q}$, выделившееся в обмотке соленоида за время $\text{t}$, равно энергии его магнитного поля $W_m$.

$Q = W_m$

Количество теплоты, выделяемое в проводнике при прохождении постоянного тока, определяется законом Джоуля-Ленца. Так как соленоид находится под постоянным напряжением $\text{U}$, используем формулу:

$Q = \frac{U^2}{R}t$

где $\text{R}$ - сопротивление обмотки.

Энергия магнитного поля соленоида определяется формулой:

$W_m = \frac{L I^2}{2}$

где $\text{L}$ - индуктивность соленоида, а $\text{I}$ - сила тока. Используя закон Ома для участка цепи $I = \frac{U}{R}$, выразим энергию через напряжение:

$W_m = \frac{L}{2} \left(\frac{U}{R}\right)^2 = \frac{L U^2}{2 R^2}$

Приравняем выражения для $\text{Q}$ и $W_m$:

$\frac{U^2}{R}t = \frac{L U^2}{2 R^2}$

Сократив обе части уравнения на $\frac{U^2}{R}$ (напряжение $\text{U}$ не равно нулю), получим выражение для искомого времени $\text{t}$:

$t = \frac{L}{2R}$

Теперь необходимо найти индуктивность $\text{L}$ и сопротивление $\text{R}$ обмотки соленоида, выразив их через заданные параметры.

Индуктивность длинного соленоида (у которого длина значительно больше диаметра, $l \gg D$) рассчитывается по формуле:

$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}$

где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения соленоида. $S = \frac{\pi D^2}{4}$. Тогда индуктивность равна:

$L = \frac{\mu_0 N^2 \pi D^2}{4l}$

Сопротивление обмотки определяется по формуле: $R = \rho \frac{L_{пр}}{S_{пр}}$, где $L_{пр}$ - длина медного провода, а $S_{пр}$ - площадь его поперечного сечения.

Длина провода равна произведению числа витков на длину одного витка (длину окружности соленоида):

$L_{пр} = N \cdot \pi D$

Для нахождения площади сечения провода $S_{пр}$ необходимо знать его диаметр $d_{пр}$. В условии задачи он не дан, но мы можем его найти, предположив, что обмотка однослойная и витки плотно прилегают друг к другу. В этом случае диаметр провода можно найти, разделив длину соленоида на число витков:

$d_{пр} = \frac{l}{N}$

Тогда площадь поперечного сечения провода:

$S_{пр} = \frac{\pi d_{пр}^2}{4} = \frac{\pi}{4}\left(\frac{l}{N}\right)^2 = \frac{\pi l^2}{4N^2}$

Подставим $L_{пр}$ и $S_{пр}$ в формулу для сопротивления:

$R = \rho \frac{N \pi D}{\frac{\pi l^2}{4N^2}} = \rho \frac{N \pi D \cdot 4N^2}{\pi l^2} = \frac{4 \rho N^3 D}{l^2}$

Теперь подставим полученные выражения для $\text{L}$ и $\text{R}$ в формулу для времени $\text{t}$:

$t = \frac{L}{2R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\mu_0 N^2 \pi D^2}{4l}}{\frac{4 \rho N^3 D}{l^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0 N^2 \pi D^2}{4l} \cdot \frac{l^2}{4 \rho N^3 D}$

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе получаем итоговую формулу для расчета времени:

$t = \frac{\mu_0 \pi D l}{32 \rho N}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$t = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot \pi \cdot 0.008 \text{ м} \cdot 0.5 \text{ м}}{32 \cdot 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом}\cdot\text{м} \cdot 20000} = \frac{4 \pi^2 \cdot 4 \cdot 10^{-10}}{32 \cdot 1.7 \cdot 2 \cdot 10^{-4}} \frac{\text{Гн}}{\text{Ом}}$

$t = \frac{16 \cdot (3.14159)^2 \cdot 10^{-10}}{108.8 \cdot 10^{-4}} \text{ с} \approx \frac{157.91 \cdot 10^{-10}}{1.088 \cdot 10^{-2}} \text{ с} \approx 145.14 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 1.45 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Ответ: $1.45 \cdot 10^{-6}$ с (или $1.45$ мкс).