Номер 3.169, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Энергия магнитного поля - номер 3.169, страница 82.

Условие.

3.169. При изменении силы тока в катушке индуктивностью 0,5 Гн в $\text{n}$ раз энергия магнитного поля изменилась на 3 Дж. Найдите начальные значения энергии и силы тока, если:

а) $n = 2$;

б) $n = 5$.

Решение.

Дано

$L = 0,5$ Гн
$\Delta W = 3$ Дж
a) $n = 2$
б) $n = 5$

Найти:

$W_1$ - ?, $I_1$ - ?

Решение

Энергия магнитного поля катушки с током вычисляется по формуле:

$W = \frac{LI^2}{2}$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{I}$ — сила тока в ней.

Пусть начальные значения силы тока и энергии были $I_1$ и $W_1$, а конечные — $I_2$ и $W_2$.

$W_1 = \frac{LI_1^2}{2}$

$W_2 = \frac{LI_2^2}{2}$

Изменение силы тока в $\text{n}$ раз может означать как увеличение, так и уменьшение. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Сила тока увеличилась в $\text{n}$ раз.

В этом случае $I_2 = nI_1$. Энергия стала равна:

$W_2 = \frac{L(nI_1)^2}{2} = n^2 \frac{LI_1^2}{2} = n^2 W_1$

Изменение энергии $\Delta W = W_2 - W_1$:

$\Delta W = n^2 W_1 - W_1 = W_1(n^2 - 1)$

Отсюда находим начальную энергию:

$W_1 = \frac{\Delta W}{n^2 - 1}$

Случай 2: Сила тока уменьшилась в $\text{n}$ раз.

В этом случае $I_2 = \frac{I_1}{n}$. Энергия стала равна:

$W_2 = \frac{L(I_1/n)^2}{2} = \frac{1}{n^2} \frac{LI_1^2}{2} = \frac{W_1}{n^2}$

Изменение энергии $\Delta W = W_1 - W_2$:

$\Delta W = W_1 - \frac{W_1}{n^2} = W_1 \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = W_1 \frac{n^2 - 1}{n^2}$

Отсюда находим начальную энергию:

$W_1 = \frac{\Delta W n^2}{n^2 - 1}$

После нахождения $W_1$, начальную силу тока $I_1$ можно найти из формулы для энергии:

$I_1 = \sqrt{\frac{2W_1}{L}}$

Теперь решим задачу для каждого из заданных значений $\text{n}$.

а) n = 2;

1. При увеличении силы тока:

$W_1 = \frac{3}{2^2 - 1} = \frac{3}{3} = 1$ Дж.

$I_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{0,5}} = \sqrt{4} = 2$ А.

2. При уменьшении силы тока:

$W_1 = \frac{3 \cdot 2^2}{2^2 - 1} = \frac{12}{3} = 4$ Дж.

$I_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 4}{0,5}} = \sqrt{16} = 4$ А.

Ответ: начальная энергия 1 Дж и начальная сила тока 2 А (если ток увеличился), либо начальная энергия 4 Дж и начальная сила тока 4 А (если ток уменьшился).

б) n = 5;

1. При увеличении силы тока:

$W_1 = \frac{3}{5^2 - 1} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} = 0,125$ Дж.

$I_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,125}{0,5}} = \sqrt{\frac{0,25}{0,5}} = \sqrt{0,5} \approx 0,71$ А.

2. При уменьшении силы тока:

$W_1 = \frac{3 \cdot 5^2}{5^2 - 1} = \frac{75}{24} = \frac{25}{8} = 3,125$ Дж.

$I_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,125}{0,5}} = \sqrt{\frac{6,25}{0,5}} = \sqrt{12,5} \approx 3,54$ А.

Ответ: начальная энергия 0,125 Дж и начальная сила тока $\sqrt{0,5}$ А $\approx 0,71$ А (если ток увеличился), либо начальная энергия 3,125 Дж и начальная сила тока $\sqrt{12,5}$ А $\approx 3,54$ А (если ток уменьшился).