Номер 3.162, страница 81 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Явление самоиндукции - номер 3.162, страница 81.

Условие.

3.162*. ЭДС самоиндукции, возникая в цепи индуктивностью 0,2 Гн, изменяется с течением времени по закону $\mathcal{E} = 6t + 3$ (В). По какому закону $I(t)$ изменяется сила тока в цепи, если $I(0) = 0$?

Решение.

Дано:

Индуктивность цепи, $L = 0,2$ Гн
Закон изменения ЭДС самоиндукции, $\mathscr{E}(t) = 6t + 3$ В
Начальное условие для силы тока, $I(0) = 0$ А

Найти:

Закон изменения силы тока $I(t)$

Решение:

ЭДС самоиндукции $\mathscr{E}_{si}$ связана со скоростью изменения силы тока $\frac{dI}{dt}$ в цепи и индуктивностью $\text{L}$ следующим соотношением (закон Фарадея для самоиндукции):

$\mathscr{E}_{si} = -L \frac{dI}{dt}$

В условии задачи дан закон изменения ЭДС самоиндукции: $\mathscr{E}(t) = 6t + 3$. Приравняем два выражения для ЭДС:

$6t + 3 = -L \frac{dI}{dt}$

Выразим из этого уравнения производную силы тока по времени $\frac{dI}{dt}$:

$\frac{dI}{dt} = -\frac{6t + 3}{L}$

Подставим числовое значение индуктивности $L = 0,2$ Гн:

$\frac{dI}{dt} = -\frac{6t + 3}{0,2} = -(30t + 15)$

Для того чтобы найти закон изменения силы тока $I(t)$, необходимо проинтегрировать полученное выражение по времени $\text{t}$.

$dI = -(30t + 15) dt$

$I(t) = \int -(30t + 15) dt = -\int (30t + 15) dt$

Вычислим неопределенный интеграл:

$I(t) = - \left( 30 \frac{t^2}{2} + 15t \right) + C = -15t^2 - 15t + C$

где $\text{C}$ — константа интегрирования. Для нахождения константы $\text{C}$ воспользуемся начальным условием, что в момент времени $t = 0$ сила тока $I(0) = 0$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$I(0) = -15(0)^2 - 15(0) + C = 0$

Отсюда следует, что $C = 0$.

Таким образом, искомый закон изменения силы тока в цепи имеет вид:

$I(t) = -15t^2 - 15t$

где сила тока измеряется в Амперах (А), а время — в секундах (с).

Ответ: $I(t) = -15t^2 - 15t$ (А).