Номер 3.158, страница 80 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Явление самоиндукции - номер 3.158, страница 80.

Условие.

3.158*. Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор сопротивлением $40 \text{ Ом}$ (рис. 3.74, а). Активным сопротивлением катушки можно пренебречь. Ключ $\text{K}$ замыкают. На рисунке 3.74, б показан график зависимости силы тока в цепи от времени. Определите:

а) ЭДС источника тока;

б) ЭДС самоиндукции в момент времени $1 \text{ с}$;

в) ЭДС самоиндукции в момент времени $2 \text{ с}$;

г) индуктивность катушки.

Рис. 3.74

Решение.

Дано:

Сопротивление резистора $R = 40$ Ом.

График зависимости силы тока от времени $I(t)$.

Момент времени $t_1 = 1$ с.

Момент времени $t_2 = 2$ с.

Данные приведены в системе СИ.

Найти:

а) $\mathcal{E}$ - ЭДС источника тока.

б) $\mathcal{E}_{si1}$ - ЭДС самоиндукции в момент времени $t_1$.

в) $\mathcal{E}_{si2}$ - ЭДС самоиндукции в момент времени $t_2$.

г) $\text{L}$ - индуктивность катушки.

Решение:

а) ЭДС источника тока

При замыкании ключа K в цепи, состоящей из резистора и катушки индуктивности, сила тока нарастает. По истечении достаточно большого промежутка времени ($t \to \infty$) изменение тока прекращается ($\frac{dI}{dt} = 0$), ЭДС самоиндукции в катушке становится равной нулю, и в цепи устанавливается постоянный ток $I_{уст}$. Этот ток можно определить по графику как максимальное значение, к которому асимптотически стремится кривая.

Из графика $I(t)$ видно, что установившийся ток $I_{уст} = 0,3$ А.

Согласно закону Ома для полной цепи, учитывая, что внутреннее сопротивление источника и активное сопротивление катушки пренебрежимо малы, можем записать:

$\mathcal{E} = I_{уст} \cdot R$

Подставим числовые значения:

$\mathcal{E} = 0,3 \, \text{А} \cdot 40 \, \text{Ом} = 12 \, \text{В}$

Ответ: ЭДС источника тока равна 12 В.

б) ЭДС самоиндукции в момент времени 1 с

Для данной цепи второе правило Кирхгофа (закон напряжений) записывается в виде:

$\mathcal{E} = I(t)R + \mathcal{E}_{si}(t)$

где $I(t)$ – мгновенное значение силы тока, а $\mathcal{E}_{si}(t)$ – мгновенное значение ЭДС самоиндукции. Отсюда выразим ЭДС самоиндукции:

$\mathcal{E}_{si}(t) = \mathcal{E} - I(t)R$

Из графика находим значение силы тока в момент времени $t_1 = 1$ с. В этой точке график проходит через пересечение линий сетки:

$I(t_1 = 1 \, \text{с}) = 0,2 \, \text{А}$

Теперь можем рассчитать ЭДС самоиндукции в этот момент времени:

$\mathcal{E}_{si1} = 12 \, \text{В} - 0,2 \, \text{А} \cdot 40 \, \text{Ом} = 12 \, \text{В} - 8 \, \text{В} = 4 \, \text{В}$

Ответ: ЭДС самоиндукции в момент времени 1 с равна 4 В.

в) ЭДС самоиндукции в момент времени 2 с

Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем пункте:

$\mathcal{E}_{si}(t) = \mathcal{E} - I(t)R$

Из графика определим значение силы тока в момент времени $t_2 = 2$ с. Вертикальная ось имеет цену малого деления $(0,3 \, \text{А} - 0,2 \, \text{А})/5 = 0,02$ А. В момент $t_2 = 2$ с кривая находится на три малых деления выше отметки 0,2 А.

$I(t_2 = 2 \, \text{с}) = 0,2 \, \text{А} + 3 \cdot 0,02 \, \text{А} = 0,26 \, \text{А}$

Рассчитаем ЭДС самоиндукции в этот момент:

$\mathcal{E}_{si2} = 12 \, \text{В} - 0,26 \, \text{А} \cdot 40 \, \text{Ом} = 12 \, \text{В} - 10,4 \, \text{В} = 1,6 \, \text{В}$

Ответ: ЭДС самоиндукции в момент времени 2 с равна 1,6 В.

г) индуктивность катушки

Зависимость силы тока от времени при замыкании RL-цепи описывается уравнением:

$I(t) = I_{уст}(1 - e^{-\frac{R}{L}t})$

Для нахождения индуктивности $\text{L}$ воспользуемся точным значением тока в момент времени $t_1 = 1$ с, $I(1 \text{ с}) = 0,2$ А, и ранее найденными значениями $\mathcal{E}$ и $I_{уст}$.

$0,2 \, \text{А} = 0,3 \, \text{А} \cdot (1 - e^{-\frac{40 \, \text{Ом}}{L} \cdot 1 \, \text{с}})$

Преобразуем уравнение:

$\frac{0,2}{0,3} = 1 - e^{-\frac{40}{L}}$

$\frac{2}{3} = 1 - e^{-\frac{40}{L}}$

$e^{-\frac{40}{L}} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$ (натуральный логарифм):

$\ln(e^{-\frac{40}{L}}) = \ln(\frac{1}{3})$

$-\frac{40}{L} = -\ln(3)$

Отсюда выражаем индуктивность $\text{L}$:

$L = \frac{40}{\ln(3)}$

Подставим значение $\ln(3) \approx 1,0986$:

$L \approx \frac{40}{1,0986} \approx 36,4 \, \text{Гн}$

Ответ: Индуктивность катушки равна примерно 36,4 Гн.