Номер 3.159, страница 81 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Явление самоиндукции - номер 3.159, страница 81.

Условие.

3.159*. Короткозамкнутая катушка сопротивлением $50 \, \Omega$ и индуктивностью $10^{-3} \, \text{Гн}$ находится в магнитном поле. При равномерном изменении магнитной индукции магнитный поток внешнего поля через катушку возрос на $10^{-3} \, \text{Вб}$ и сила тока в катушке достигла значения $0,1 \, \text{А}$. Какой заряд прошёл за это время по катушке?

Решение.

Дано:

Сопротивление катушки $R = 50$ Ом

Индуктивность катушки $L = 10^{-3}$ Гн

Возрастание магнитного потока внешнего поля $ΔΦ_{внеш} = 10^{-3}$ Вб

Конечная сила тока в катушке $I = 0,1$ А

Начальная сила тока $I_0 = 0$ А

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Заряд, прошедший по катушке $\text{q}$.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ε_{инд}$, возникающая в замкнутом контуре, равна скорости изменения полного магнитного потока $Φ_{полн}$ через этот контур, взятой со знаком минус:

$ε_{инд} = - \frac{dΦ_{полн}}{dt}$

Полный магнитный поток через катушку является суммой потока внешнего поля $Φ_{внеш}$ и собственного магнитного потока катушки (потока самоиндукции) $Φ_с = L \cdot I$.

$Φ_{полн} = Φ_{внеш} + LI$

С другой стороны, по закону Ома для замкнутой цепи, мгновенное значение силы тока $\text{I}$ связано с ЭДС индукции и сопротивлением катушки $\text{R}$:

$I = \frac{ε_{инд}}{R}$ или $ε_{инд} = I \cdot R$

Объединив эти выражения, получим:

$I \cdot R = - \frac{d(Φ_{внеш} + LI)}{dt}$

По определению, сила тока есть производная заряда по времени: $I = \frac{dq}{dt}$, откуда следует, что $dq = I \cdot dt$.

Запишем уравнение в дифференциальной форме:

$I \cdot R \cdot dt = - d(Φ_{внеш} + LI)$

$R \cdot dq = - dΦ_{внеш} - L \cdot dI$

Проинтегрируем это уравнение по всему процессу. Интегрирование левой части даст $R \cdot q$, где $\text{q}$ - искомый заряд. Интегрирование правой части даст полное изменение внешнего магнитного потока и потока самоиндукции.

$\int R \cdot dq = - \int dΦ_{внеш} - \int L \cdot dI$

$R \cdot q = - ΔΦ_{внеш} - L \cdot ΔI$

Изменение тока $ΔI = I - I_0 = 0,1 \text{ А} - 0 \text{ А} = 0,1$ А. Изменение внешнего потока $ΔΦ_{внеш} = 10^{-3}$ Вб.

Выразим заряд $\text{q}$:

$q = - \frac{ΔΦ_{внеш} + L \cdot I}{R}$

Знак "минус" в формуле отражает правило Ленца. Вопрос о величине прошедшего заряда, поэтому мы найдем его модуль.

Подставим числовые значения:

$|q| = \left| - \frac{10^{-3} \text{ Вб} + 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 0,1 \text{ А}}{50 \text{ Ом}} \right|$

$|q| = \frac{10^{-3} + 0,1 \cdot 10^{-3}}{50} = \frac{1,1 \cdot 10^{-3}}{50}$ Кл

$|q| = 0,022 \cdot 10^{-3} \text{ Кл} = 22 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 22$ мкКл

Ответ: по катушке прошёл заряд 22 мкКл.