Номер 3.168, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Энергия магнитного поля - номер 3.168, страница 82.

Условие.

3.168. Для схемы, приведённой на рисунке 3.75, найдите энергию магнитного поля катушки.

Рис. 3.75

Решение.

Дано:

Схема электрической цепи, содержащая источник тока с ЭДС $ε$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$, резистор с сопротивлением $\text{R}$, катушку индуктивности $\text{L}$ с собственным сопротивлением $R_L$.

Найти:

Энергию магнитного поля катушки $W_L$.

Решение:

Энергия магнитного поля, накопленная в катушке индуктивности, вычисляется по формуле:

$W_L = \frac{1}{2}LI_L^2$

где $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $I_L$ — сила тока, протекающего через неё. Чтобы найти энергию, нам необходимо определить силу тока $I_L$ в установившемся режиме.

В цепи постоянного тока, по прошествии достаточного времени после замыкания, наступает установившийся режим. В этом режиме ток в цепи становится постоянным. При постоянном токе производная тока по времени $\frac{dI}{dt}$ равна нулю, следовательно, ЭДС самоиндукции в катушке, равная $-L\frac{dI}{dt}$, также равна нулю. Это означает, что в установившемся режиме идеальная катушка индуктивности ведёт себя как обычный проводник (короткое замыкание). В нашей схеме сопротивление ветви с катушкой будет равно её собственному сопротивлению $R_L$.

Схема в установившемся режиме представляет собой источник тока, к которому параллельно подключены две ветви: одна с сопротивлением $\text{R}$ и другая с сопротивлением $R_L$.

Сначала найдём общее сопротивление $R_{внеш}$ внешней цепи, которое представляет собой эквивалентное сопротивление двух параллельно соединённых резисторов $\text{R}$ и $R_L$:

$\frac{1}{R_{внеш}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R_L} = \frac{R_L + R}{R R_L}$

Отсюда $R_{внеш} = \frac{R R_L}{R + R_L}$

Теперь, используя закон Ома для полной цепи, найдём общий ток $I_{общ}$, который создаёт источник:

$I_{общ} = \frac{ε}{R_{внеш} + r} = \frac{ε}{\frac{R R_L}{R + R_L} + r} = \frac{ε(R + R_L)}{R R_L + r(R + R_L)}$

Напряжение $\text{U}$ на клеммах источника (которое также является напряжением на параллельных ветвях) можно найти как:

$U = I_{общ} \cdot R_{внеш} = \frac{ε(R + R_L)}{R R_L + r(R + R_L)} \cdot \frac{R R_L}{R + R_L} = \frac{ε R R_L}{R R_L + r(R + R_L)}$

Зная напряжение $\text{U}$ на ветви с катушкой и её сопротивление $R_L$, мы можем найти ток $I_L$, протекающий через неё, по закону Ома для участка цепи:

$I_L = \frac{U}{R_L} = \frac{1}{R_L} \cdot \frac{ε R R_L}{R R_L + r(R + R_L)} = \frac{ε R}{R R_L + r(R + R_L)}$

Наконец, подставим полученное выражение для тока $I_L$ в формулу для энергии магнитного поля катушки:

$W_L = \frac{1}{2}L I_L^2 = \frac{1}{2}L \left( \frac{ε R}{R R_L + r(R + R_L)} \right)^2 = \frac{L ε^2 R^2}{2(R R_L + r(R + R_L))^2}$

Ответ: $W_L = \frac{L ε^2 R^2}{2(R R_L + r(R + R_L))^2}$.