Номер 3.76, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.76, страница 64.

Условие.

3.76**. В циклотроне с максимальным радиусом кривизны траектории частиц 0,35 м частота приложенной к дуантам разности потенциалов $1,38 \cdot 10^7$ Гц. Найдите:

а) магнитную индукцию поля, необходимого для работы с протонами;

б) максимальную энергию вылетающих протонов.

Решение.

Дано:

Максимальный радиус траектории, $R_{max} = 0,35$ м
Частота приложенного напряжения, $f = 1,38 \cdot 10^7$ Гц
Ускоряемая частица - протон.
Заряд протона, $q = e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса протона, $m = m_p \approx 1,672 \cdot 10^{-27}$ кг

Найти:

а) $\text{B}$ - магнитную индукцию поля
б) $E_{k_{max}}$ - максимальную кинетическую энергию вылетающих протонов

Решение:

а) В циклотроне для ускорения частиц используется принцип циклотронного резонанса. Он заключается в том, что частота $\text{f}$ переменного электрического поля, приложенного к дуантам, должна быть равна частоте обращения (циклотронной частоте) заряженной частицы в магнитном поле. Циклотронная частота определяется силой Лоренца, которая выступает в роли центростремительной силы:

$q v B = \frac{m v^2}{R}$

Отсюда период обращения $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$.

Частота обращения $\text{f}$ (циклотронная частота) равна:

$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$

Из этой формулы выразим индукцию магнитного поля $\text{B}$:

$B = \frac{2\pi m f}{q}$

Подставим числовые значения для протона:

$B = \frac{2\pi \cdot (1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (1,38 \cdot 10^7 \text{ Гц})}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 0,905 \text{ Тл}$

Ответ: $B \approx 0,905 \text{ Тл}$.

б) Максимальная кинетическая энергия протона $E_{k_{max}}$ достигается при движении по траектории с максимальным радиусом $R_{max}$, что соответствует максимальной скорости $v_{max}$.

Скорость частицы связана с частотой обращения и радиусом траектории:

$v = 2\pi f R$

Следовательно, максимальная скорость равна:

$v_{max} = 2\pi f R_{max}$

Максимальная кинетическая энергия вычисляется по формуле:

$E_{k_{max}} = \frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{m(2\pi f R_{max})^2}{2} = 2\pi^2 m f^2 R_{max}^2$

Подставим известные значения:

$E_{k_{max}} = 2\pi^2 \cdot (1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (1,38 \cdot 10^7 \text{ Гц})^2 \cdot (0,35 \text{ м})^2$

$E_{k_{max}} \approx 2 \cdot (3,1416)^2 \cdot (1,672 \cdot 10^{-27}) \cdot (1,9044 \cdot 10^{14}) \cdot 0,1225 \text{ Дж}$

$E_{k_{max}} \approx 7,69 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$

Часто энергию элементарных частиц выражают в мегаэлектрон-вольтах (МэВ). Переведем полученное значение в МэВ, зная, что $1 \text{ эВ} \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$:

$E_{k_{max}} = \frac{7,69 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 4,80 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 4,80 \text{ МэВ}$

Ответ: $E_{k_{max}} \approx 7,69 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$ (или $4,80 \text{ МэВ}$).