Номер 3.72, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.72, страница 63.

Условие.

3.72**. Электрон, влетающий в однородное магнитное поле под углом $60^\circ$ к линиям магнитной индукции, движется по винтовой линии диаметром 10 см с периодом обращения $6 \cdot 10^{-5}$ с. Определите:

а) скорость электрона;

б) магнитную индукцию поля;

в) шаг винтовой линии.

Решение.

Дано:

Угол влета электрона, $α = 60°$

Диаметр винтовой линии, $d = 10 \text{ см}$

Период обращения, $T = 6 \cdot 10^{-5} \text{ с}$

Масса электрона (справочное значение), $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Модуль заряда электрона (справочное значение), $|q| = e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:
$d = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Радиус винтовой линии, $R = d/2 = 0.05 \text{ м}$

Найти:

а) скорость электрона $\text{v}$

б) магнитную индукцию поля $\text{B}$

в) шаг винтовой линии $\text{h}$

Решение:

Движение электрона в однородном магнитном поле можно представить как суперпозицию двух движений: равномерного прямолинейного движения вдоль линий магнитной индукции и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям. Скорость электрона $\text{v}$ раскладывается на две составляющие:

• $v_∥ = v \cos α$ — продольная составляющая, параллельная вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Она определяет поступательное движение.
• $v_⊥ = v \sin α$ — поперечная составляющая, перпендикулярная вектору $\vec{B}$. Она определяет вращательное движение.

Сила Лоренца $F_Л = |q|v_⊥B$ является центростремительной силой $F_ц = \frac{m_e v_⊥^2}{R}$, которая заставляет электрон двигаться по окружности радиуса $\text{R}$.

$|q|v_⊥B = \frac{m_e v_⊥^2}{R}$

Период обращения электрона по окружности определяется как время одного полного оборота: $T = \frac{2 \pi R}{v_⊥}$.

а) скорость электрона

Сначала найдем поперечную составляющую скорости $v_⊥$ из формулы периода:

$v_⊥ = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим числовые значения:

$v_⊥ = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0.05 \text{ м}}{6 \cdot 10^{-5} \text{ с}} = \frac{0.1 \pi}{6 \cdot 10^{-5}} \text{ м/с} \approx 5.24 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Полная скорость электрона $\text{v}$ связана с поперечной составляющей через угол $α$:

$v = \frac{v_⊥}{\sin α}$

$v = \frac{5.24 \cdot 10^3 \text{ м/с}}{\sin 60°} = \frac{5.24 \cdot 10^3 \text{ м/с}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \frac{5.24 \cdot 10^3 \text{ м/с}}{0.866} \approx 6.05 \cdot 10^3 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость электрона approximately $6.05 \cdot 10^3 \text{ м/с}$.

б) магнитную индукцию поля

Период обращения заряженной частицы в магнитном поле не зависит от ее скорости и радиуса траектории, а определяется только индукцией поля и отношением заряда частицы к ее массе. Выразим $\text{B}$ из равенства $|q|v_⊥B = \frac{m_e v_⊥^2}{R}$ и формулы периода $T = \frac{2 \pi R}{v_⊥}$.

$T = \frac{2 \pi R}{v_⊥} = \frac{2 \pi R}{\frac{|q|BR}{m_e}} = \frac{2 \pi m_e}{|q|B}$

Отсюда выражаем магнитную индукцию $\text{B}$:

$B = \frac{2 \pi m_e}{|q| T}$

Подставим известные значения:

$B = \frac{2 \cdot \pi \cdot 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 6 \cdot 10^{-5} \text{ с}} = \frac{57.25 \cdot 10^{-31}}{9.6 \cdot 10^{-24}} \text{ Тл} \approx 5.96 \cdot 10^{-7} \text{ Тл}$

Ответ: Магнитная индукция поля $B \approx 5.96 \cdot 10^{-7} \text{ Тл}$.

в) шаг винтовой линии

Шаг винтовой линии $\text{h}$ — это расстояние, на которое электрон смещается вдоль линий магнитного поля за один период обращения $\text{T}$.

$h = v_∥ \cdot T$

Продольную составляющую скорости $v_∥$ можно найти из полной скорости $\text{v}$ или из поперечной $v_⊥$:

$v_∥ = v \cos α = v_⊥ \cot α$

Используя второе соотношение, получаем:

$h = (v_⊥ \cot α) \cdot T$

Так как $v_⊥ T = 2 \pi R$, то формула для шага принимает вид:

$h = 2 \pi R \cot α$

Подставим значения:

$h = 2 \cdot \pi \cdot 0.05 \text{ м} \cdot \cot 60° = 0.1 \pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ м} \approx \frac{0.314}{1.732} \text{ м} \approx 0.181 \text{ м}$

Ответ: Шаг винтовой линии $h \approx 0.181 \text{ м}$ или $18.1 \text{ см}$.