Номер 3.69, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.69, страница 63.

Условие.

3.69*Протон с энергией 600 эВ влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,33 Тл перпендикулярно линиям индукции. Найдите радиус окружности, по дуге которой движется протон. Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия протона, $E_k = 600 \text{ эВ}$

Индукция магнитного поля, $B = 0.33 \text{ Тл}$

Масса протона, $m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ кг}$

Заряд протона, $q = e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Угол влета в поле, $\alpha = 90^\circ$

Переведем энергию в систему СИ (Джоули):

$E_k = 600 \text{ эВ} = 600 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 9.6 \times 10^{-17} \text{ Дж}$

Найти:

Радиус окружности $\text{R}$

Изменение энергии $\Delta E_k$

Решение:

Найдите радиус окружности, по дуге которой движется протон.

На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Поскольку протон влетает в поле перпендикулярно линиям индукции ($\alpha = 90^\circ$), эта сила будет максимальной и равной $F_Л = qvB \sin\alpha = qvB$. Сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому она не изменяет модуль скорости, а только ее направление, заставляя протон двигаться по окружности. Эта сила является центростремительной силой.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна $F_ц = \frac{m_p v^2}{R}$, где $m_p$ - масса протона, а $\text{R}$ - радиус окружности.

Приравняем силу Лоренца и центростремительную силу:

$qvB = \frac{m_p v^2}{R}$

Отсюда можем выразить радиус траектории:

$R = \frac{m_p v}{qB}$

Скорость протона $\text{v}$ нам неизвестна, но мы можем найти ее из формулы кинетической энергии $E_k = \frac{m_p v^2}{2}$.

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_p}}$

Подставим выражение для скорости в формулу для радиуса:

$R = \frac{m_p}{qB} \sqrt{\frac{2E_k}{m_p}} = \frac{1}{qB} \sqrt{\frac{2E_k m_p^2}{m_p}} = \frac{\sqrt{2m_p E_k}}{qB}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ:

$R = \frac{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \text{ кг} \times 9.6 \times 10^{-17} \text{ Дж}}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 0.33 \text{ Тл}} = \frac{\sqrt{32.064 \times 10^{-44} \text{ кг}^2\text{м}^2/\text{с}^2}}{0.528 \times 10^{-19} \text{ Кл}\cdot\text{Тл}} \approx \frac{5.66 \times 10^{-22} \text{ кг}\cdot\text{м}/\text{с}}{0.528 \times 10^{-19} \text{ Кл}\cdot\text{Тл}} \approx 10.72 \times 10^{-3} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $10.72 \times 10^{-3} \text{ м} \approx 1.07 \text{ см}$.

Ответ: радиус окружности, по дуге которой движется протон, составляет примерно 1.07 см.

Будет ли изменяться энергия протона при движении в этом магнитном поле?

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу в магнитном поле, всегда направлена перпендикулярно вектору скорости частицы ($\vec{F}_Л \perp \vec{v}$). Работа силы определяется как $A = \int \vec{F} \cdot d\vec{l}$, а ее мгновенная мощность как $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$. Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, мощность силы Лоренца равна нулю:

$P = \vec{F}_Л \cdot \vec{v} = |\vec{F}_Л| |\vec{v}| \cos(90^\circ) = 0$

Это означает, что магнитное поле не совершает работы над частицей. Согласно теореме о кинетической энергии, изменение кинетической энергии тела равно полной работе, совершенной над ним ($\Delta E_k = A_{полная}$). Так как работа силы Лоренца равна нулю ($A_Л=0$), кинетическая энергия протона не изменяется.

Магнитное поле изменяет только направление вектора скорости, но не его модуль (то есть не изменяет скорость как скалярную величину). Следовательно, и кинетическая энергия, зависящая от квадрата модуля скорости ($E_k = \frac{mv^2}{2}$), остается постоянной.

Ответ: нет, энергия протона при движении в этом магнитном поле изменяться не будет.