Номер 3.66, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.66, страница 62.

Условие.

3.66*. На рисунке 3.26 представлены треки протона в камере Вильсона, помещённой в магнитное поле. Точки $O_1$ и $O_2$ — центры кривизны траектории в точках 1 и 2.

а) Как направлены линии магнитной индукции?

б) Определите скорость протона в точках 1 и 2. Почему трек в конце движения становится шире?

Рис. 3.26

Решение.

а) Как направлены линии магнитной индукции?

Направление линий магнитной индукции можно определить с помощью правила левой руки (или правила правой руки для положительно заряженных частиц). Протон — положительно заряженная частица ($q > 0$). На него действует сила Лоренца $\vec{F_Л} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, которая является центростремительной силой, искривляющей траекторию.

Из рисунка видно, что радиус кривизны траектории уменьшается от точки 1 к точке 2 ($R_1 > R_2$). Так как радиус кривизны $R = \frac{mv}{qB}$, уменьшение радиуса при постоянных $\text{m}$, $\text{q}$ и $\text{B}$ означает уменьшение скорости. Следовательно, протон движется от точки 1 к точке 2.

В точке 1 вектор скорости $\vec{v}$ направлен по касательной к траектории вверх. Сила Лоренца $\vec{F_Л}$ направлена к центру кривизны $O_1$, то есть вправо. Согласно правилу правой руки (для положительного заряда): если расположить четыре пальца правой руки по направлению скорости $\vec{v}$ (вверх), а сила $\vec{F_Л}$ (отогнутый большой палец) должна быть направлена вправо, то вектор магнитной индукции $\vec{B}$ должен входить в ладонь. Это означает, что вектор $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас (за плоскость рисунка).

Ответ: Линии магнитной индукции направлены перпендикулярно плоскости рисунка от наблюдателя (за плоскость рисунка).

б) Определите скорость протона в точках 1 и 2. Почему трек в конце движения становится шире?

Дано:

Для рисунка а:

$B_a = 3,5$ Тл

Для рисунка б:

$B_b = 2,5$ Тл

Масштаб по сетке: 2 клетки = 10 мм, следовательно, 1 клетка = 5 мм = $5 \times 10^{-3}$ м.

Заряд протона $q = e = 1,6 \times 10^{-19}$ Кл.

Масса протона $m_p = 1,67 \times 10^{-27}$ кг.

Из рисунка а определим радиусы кривизны:

$R_{1a}$ = расстояние по горизонтали от точки 1 до $O_1$ = 5 клеток = $5 \times 5 \times 10^{-3}$ м = $25 \times 10^{-3}$ м.

$R_{2a}$ = расстояние по вертикали от точки 2 до $O_2$ = 2 клетки = $2 \times 5 \times 10^{-3}$ м = $10 \times 10^{-3}$ м.

Из рисунка б определим радиусы кривизны:

$R_{1b}$ = расстояние по горизонтали от точки 1 до $O_1$ = 6 клеток = $6 \times 5 \times 10^{-3}$ м = $30 \times 10^{-3}$ м.

$R_{2b}$ = расстояние по вертикали от точки 2 до $O_2$ = 2 клетки = $2 \times 5 \times 10^{-3}$ м = $10 \times 10^{-3}$ м.

Найти:

$v_{1a}, v_{2a}, v_{1b}, v_{2b}$ — ?

Решение:

На протон в магнитном поле действует сила Лоренца, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = F_ц$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда выразим скорость протона:

$v = \frac{qBR}{m}$

Расчет для рисунка а ($B_a = 3,5$ Тл):

Скорость в точке 1:

$v_{1a} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 3,5 \text{ Тл} \times 25 \times 10^{-3} \text{ м}}{1,67 \times 10^{-27} \text{ кг}} \approx 8,38 \times 10^6$ м/с.

Скорость в точке 2:

$v_{2a} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 3,5 \text{ Тл} \times 10 \times 10^{-3} \text{ м}}{1,67 \times 10^{-27} \text{ кг}} \approx 3,35 \times 10^6$ м/с.

Расчет для рисунка б ($B_b = 2,5$ Тл):

Скорость в точке 1:

$v_{1b} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 2,5 \text{ Тл} \times 30 \times 10^{-3} \text{ м}}{1,67 \times 10^{-27} \text{ кг}} \approx 7,18 \times 10^6$ м/с.

Скорость в точке 2:

$v_{2b} = \frac{1,6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \times 2,5 \text{ Тл} \times 10 \times 10^{-3} \text{ м}}{1,67 \times 10^{-27} \text{ кг}} \approx 2,39 \times 10^6$ м/с.

Почему трек в конце движения становится шире?

Двигаясь в среде (в данном случае в камере Вильсона), протон взаимодействует с атомами газа, ионизируя их и теряя при этом свою кинетическую энергию. В результате скорость протона уменьшается. Чем меньше скорость частицы, тем больше времени она находится вблизи каждого атома на своем пути и тем выше плотность ионизации, которую она создает. Видимый трек в камере Вильсона образуется из-за конденсации перенасыщенного пара на этих ионах. Более высокая плотность ионизации приводит к образованию более плотного и, следовательно, более широкого (толстого) трека. Таким образом, в конце движения, где скорость протона ниже, трек становится шире.

Ответ:
Для случая а ($B = 3,5$ Тл): скорость в точке 1 примерно равна $8,4 \times 10^6$ м/с, в точке 2 — $3,4 \times 10^6$ м/с.
Для случая б ($B = 2,5$ Тл): скорость в точке 1 примерно равна $7,2 \times 10^6$ м/с, в точке 2 — $2,4 \times 10^6$ м/с.
Трек становится шире в конце движения, потому что протон замедляется из-за потерь энергии на ионизацию среды. Чем меньше скорость протона, тем выше плотность создаваемых им ионов, что делает видимый трек более толстым.