Номер 3.60, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.60, страница 61.

Условие.

3.60. Протон и $ \alpha $-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз период обращения $ \alpha $-частицы больше периода обращения протона?

Решение.

Дано:

Протон (p) и $\alpha$-частица.

Масса протона - $m_p$.

Заряд протона - $q_p = e$, где $\text{e}$ - элементарный заряд.

Масса $\alpha$-частицы - $m_α$. $\alpha$-частица является ядром атома гелия и состоит из двух протонов и двух нейтронов, поэтому ее масса приблизительно в 4 раза больше массы протона: $m_α \approx 4m_p$.

Заряд $\alpha$-частицы - $q_α$. Так как в ней 2 протона, ее заряд в 2 раза больше заряда протона: $q_α = 2e = 2q_p$.

Частицы влетают в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ перпендикулярно линиям индукции.

Найти:

Отношение периода обращения $\alpha$-частицы ($T_α$) к периоду обращения протона ($T_p$): $\frac{T_α}{T_p}$.

Решение:

Когда заряженная частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на нее начинает действовать сила Лоренца, которая перпендикулярна вектору скорости. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности, и сама сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы.

Сила Лоренца определяется формулой:

$F_Л = qvB\sin\alpha$

Поскольку частицы влетают перпендикулярно линиям индукции, угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin90^\circ = 1$. Тогда $F_Л = qvB$.

Центростремительная сила, действующая на частицу, движущуюся по окружности радиусом $\text{r}$, равна:

$F_ц = \frac{mv^2}{r}$

Приравниваем силу Лоренца и центростремительную силу:

$qvB = \frac{mv^2}{r}$

Период обращения $\text{T}$ — это время, за которое частица совершает один полный оборот. Он связан со скоростью $\text{v}$ и радиусом $\text{r}$ соотношением:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Из уравнения сил выразим радиус $\text{r}$:

$r = \frac{mv^2}{qvB} = \frac{mv}{qB}$

Теперь подставим выражение для радиуса в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{v} \cdot \left(\frac{mv}{qB}\right) = \frac{2\pi m}{qB}$

Эта формула показывает, что период обращения не зависит от скорости частицы и радиуса её траектории, а зависит только от отношения массы к заряду частицы и индукции магнитного поля.

Запишем формулы для периода обращения протона и $\alpha$-частицы:

Для протона: $T_p = \frac{2\pi m_p}{q_p B} = \frac{2\pi m_p}{eB}$

Для $\alpha$-частицы: $T_α = \frac{2\pi m_α}{q_α B}$

Подставим известные соотношения для массы и заряда $\alpha$-частицы ($m_α = 4m_p$ и $q_α = 2q_p = 2e$):

$T_α = \frac{2\pi (4m_p)}{(2e)B} = \frac{4\pi m_p}{eB}$

Теперь найдем отношение периодов:

$\frac{T_α}{T_p} = \frac{\frac{4\pi m_p}{eB}}{\frac{2\pi m_p}{eB}} = \frac{4\pi m_p}{eB} \cdot \frac{eB}{2\pi m_p} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: Период обращения $\alpha$-частицы в 2 раза больше периода обращения протона.