Номер 3.61, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.61, страница 61.

Условие.

3.61*. Протон и $\alpha$-частица влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Найдите отношение радиусов окружностей, по которым движутся частицы, если у них одинакова:

a) скорость;

б) энергия.

Решение.

Дано:

Протон (p): масса $m_p$, заряд $q_p = e$

α-частица (ядро гелия): масса $m_\alpha \approx 4m_p$, заряд $q_\alpha = 2e$

Частицы влетают в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ перпендикулярно линиям индукции.

а) $v_p = v_\alpha = v$

б) $E_p = E_\alpha = E$ (кинетическая энергия)

Найти:

Отношение радиусов траекторий $\frac{R_p}{R_\alpha}$ в случаях а) и б).

Решение:

Когда заряженная частица движется в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, на нее действует сила Лоренца $F_Л$, которая является центростремительной силой и заставляет частицу двигаться по окружности.

$F_Л = qvB$

Центростремительная сила: $F_ц = \frac{mv^2}{R}$

Приравнивая эти силы, получаем: $qvB = \frac{mv^2}{R}$

Отсюда можно выразить радиус окружности:

$R = \frac{mv}{qB}$

Запишем формулы для радиусов траекторий протона и α-частицы:

Для протона: $R_p = \frac{m_p v_p}{q_p B} = \frac{m_p v_p}{eB}$

Для α-частицы: $R_\alpha = \frac{m_\alpha v_\alpha}{q_\alpha B} = \frac{4m_p v_\alpha}{2eB} = \frac{2m_p v_\alpha}{eB}$

Теперь рассмотрим два случая.

а) скорость;

В этом случае скорости частиц одинаковы: $v_p = v_\alpha = v$.

Найдем отношение радиусов:

$\frac{R_p}{R_\alpha} = \frac{\frac{m_p v}{eB}}{\frac{2m_p v}{eB}}$

Сокращая одинаковые множители ($m_p, v, e, B$), получаем:

$\frac{R_p}{R_\alpha} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{R_p}{R_\alpha} = 0.5$

б) энергия.

В этом случае кинетические энергии частиц одинаковы: $E_p = E_\alpha = E$.

Кинетическая энергия связана со скоростью и массой формулой $E = \frac{mv^2}{2}$. Выразим из нее импульс $p=mv$:

$v = \sqrt{\frac{2E}{m}} \implies p = mv = m\sqrt{\frac{2E}{m}} = \sqrt{2mE}$

Подставим выражение для импульса в формулу для радиуса: $R = \frac{p}{qB} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$.

Запишем радиусы для протона и α-частицы через энергию:

$R_p = \frac{\sqrt{2m_p E}}{eB}$

$R_\alpha = \frac{\sqrt{2m_\alpha E}}{q_\alpha B} = \frac{\sqrt{2(4m_p)E}}{2eB} = \frac{\sqrt{8m_p E}}{2eB} = \frac{2\sqrt{2m_p E}}{2eB} = \frac{\sqrt{2m_p E}}{eB}$

Найдем отношение радиусов:

$\frac{R_p}{R_\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{2m_p E}}{eB}}{\frac{\sqrt{2m_p E}}{eB}} = 1$

Ответ: $\frac{R_p}{R_\alpha} = 1$