Номер 3.67, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.67, страница 62.

Условие.

3.67*. Шарик массой 1 г с зарядом 1 мКл, подвешенный на нити длиной 0,5 м, движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией 3 Тл так, что нить составляет с вертикалью угол 60° (рис. 3.27). Найдите частоту обращения шарика ($g = 10 \text{ м/с}^2$).

Рис. 3.27

Решение.

Дано:

$m = 1 \text{ г}$

$q = 1 \text{ мкКл}$

$L = 0,5 \text{ м}$

$B = 3 \text{ Тл}$

$\alpha = 60^\circ$

$g = 10 \text{ м/с}^2$

В системе СИ:

$m = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$q = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$\text{f}$ - ?

Решение:

На шарик, движущийся по окружности, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила Лоренца $\vec{F_L}$. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Ось Y направим вертикально вверх, а ось X – горизонтально к центру окружности.

Вертикальная проекция (ось Y):
$T \cos\alpha - mg = 0$
Отсюда выразим силу натяжения нити:
$T = \frac{mg}{\cos\alpha}$ (1)

Горизонтальная проекция (ось X):
Равнодействующая сил в горизонтальной плоскости равна $F_x = m a_ц$.
Центростремительное ускорение $a_ц = \omega^2 r$, где $\omega = 2\pi f$ – угловая частота, а $\text{r}$ – радиус окружности. Радиус равен $r = L \sin\alpha$.
Горизонтальную составляющую силы натяжения $T_x = T \sin\alpha$ направим к центру.
Сила Лоренца $F_L = |q|vB\sin(90^\circ) = qvB$, так как скорость $\vec{v}$ перпендикулярна вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Направление силы Лоренца определим по правилу левой руки (или правилу векторного произведения для $\vec{F_L}=q(\vec{v} \times \vec{B})$). Поскольку заряд $\text{q}$ положительный, а вектор $\vec{B}$ направлен вверх, то при вращении против часовой стрелки (как указано на рисунке) сила Лоренца будет направлена от центра окружности.
Тогда уравнение для горизонтальной оси имеет вид:
$T \sin\alpha - F_L = m a_ц$
$T \sin\alpha - qvB = m \omega^2 r$ (2)

Подставим в уравнение (2) выражение для $\text{T}$ из (1), а также $v=\omega r$ и $r=L\sin\alpha$:
$\frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha - q(\omega L\sin\alpha)B = m\omega^2(L\sin\alpha)$

Упростим выражение, разделив обе части на $L\sin\alpha$ (поскольку $\alpha=60^\circ$, $\sin\alpha \neq 0$):
$\frac{mg}{L\cos\alpha} - q\omega B = m\omega^2$

Получили квадратное уравнение относительно угловой частоты $\omega$:
$m\omega^2 + qB\omega - \frac{mg}{L\cos\alpha} = 0$

Решим это уравнение:
$\omega = \frac{-qB \pm \sqrt{(qB)^2 - 4m(-\frac{mg}{L\cos\alpha})}}{2m}$
Так как угловая частота $\omega$ должна быть положительной, выбираем знак «+» перед корнем:
$\omega = \frac{-qB + \sqrt{(qB)^2 + \frac{4m^2g}{L\cos\alpha}}}{2m}$

Подставим числовые значения:
$qB = 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 3 \text{ Тл} = 3 \cdot 10^{-6} \text{ кг/с}$
$2m = 2 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$\frac{4m^2g}{L\cos\alpha} = \frac{4 \cdot (10^{-3})^2 \text{кг}^2 \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0,5 \text{ м} \cdot \cos(60^\circ)} = \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 10}{0,5 \cdot 0,5} = \frac{4 \cdot 10^{-5}}{0,25} = 1,6 \cdot 10^{-4} \text{ (кг/с)}^2$
$(qB)^2 = (3 \cdot 10^{-6})^2 = 9 \cdot 10^{-12} \text{ (кг/с)}^2$

$\omega = \frac{-3 \cdot 10^{-6} + \sqrt{9 \cdot 10^{-12} + 1,6 \cdot 10^{-4}}}{2 \cdot 10^{-3}}$
Поскольку $9 \cdot 10^{-12}$ пренебрежимо мало по сравнению с $1,6 \cdot 10^{-4}$, то:
$\omega \approx \frac{-3 \cdot 10^{-6} + \sqrt{1,6 \cdot 10^{-4}}}{2 \cdot 10^{-3}} = \frac{-3 \cdot 10^{-6} + 1,2649 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-3}} \approx \frac{1,2646 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-3}} \approx 6,323 \text{ рад/с}$

Частота обращения $\text{f}$ связана с угловой частотой соотношением $f = \frac{\omega}{2\pi}$:
$f = \frac{6,323}{2\pi} \approx \frac{6,323}{2 \cdot 3,1416} \approx 1,006 \text{ Гц}$

Округляя до сотых, получаем:
$f \approx 1,01 \text{ Гц}$

Ответ: $f \approx 1,01 \text{ Гц}$.