Номер 3.71, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.71, страница 63.

Условие.

3.71**. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле с индукцией 29 мТл под углом $30^\circ$ к линиям индукции. Найдите шаг винтовой линии, по которой движется электрон.

Решение.

Дано

Разность потенциалов $U = 1 \text{ кВ}$

Магнитная индукция $B = 29 \text{ мТл}$

Угол $\alpha = 30^\circ$

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона $m = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

$U = 1 \cdot 10^3 \text{ В}$

$B = 29 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} = 0,029 \text{ Тл}$

Найти:

Шаг винтовой линии $\text{h}$

Решение

1. Сначала найдем скорость, которую приобретает электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$. Согласно теореме о кинетической энергии, работа электрического поля идет на увеличение кинетической энергии электрона:

$ eU = \frac{mv^2}{2} $

Отсюда скорость электрона $\text{v}$ равна:

$ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} $

2. Когда электрон влетает в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, его движение можно разложить на два: движение вдоль поля и вращение в плоскости, перпендикулярной полю. Для этого разложим вектор скорости $\vec{v}$ на две составляющие:

• $v_{||} = v \cos\alpha$ — составляющая скорости, параллельная линиям магнитной индукции. Эта составляющая скорости остается постоянной, так как сила Лоренца на нее не действует. Она определяет поступательное движение электрона.
• $v_{\perp} = v \sin\alpha$ — составляющая скорости, перпендикулярная линиям магнитной индукции. Под действием силы Лоренца эта составляющая заставляет электрон двигаться по окружности.

3. Шаг винтовой линии $\text{h}$ — это расстояние, которое электрон проходит вдоль линий индукции за время одного полного оборота (период $\text{T}$).

$ h = v_{||} \cdot T = v \cos\alpha \cdot T $

4. Найдем период обращения $\text{T}$. Сила Лоренца $F_L = ev_{\perp}B$ сообщает электрону центростремительное ускорение, то есть $F_L = F_c = \frac{mv_{\perp}^2}{r}$, где $\text{r}$ — радиус окружности.

$ ev_{\perp}B = \frac{mv_{\perp}^2}{r} $

Период обращения — это время, за которое электрон проходит длину окружности $2\pi r$ со скоростью $v_{\perp}$:

$ T = \frac{2\pi r}{v_{\perp}} $

Из уравнения для силы Лоренца выразим $r = \frac{mv_{\perp}}{eB}$ и подставим в формулу для периода:

$ T = \frac{2\pi}{v_{\perp}} \left( \frac{mv_{\perp}}{eB} \right) = \frac{2\pi m}{eB} $

5. Теперь подставим выражения для скорости $\text{v}$ и периода $\text{T}$ в формулу для шага винтовой линии:

$ h = v \cos\alpha \cdot T = \left( \sqrt{\frac{2eU}{m}} \right) \cos\alpha \cdot \left( \frac{2\pi m}{eB} \right) $

Упростим выражение:

$ h = \frac{2\pi m \cos\alpha}{eB} \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \frac{2\pi \cos\alpha}{B} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2eU}{e^2 \cdot m}} = \frac{2\pi \cos\alpha}{B} \sqrt{\frac{2mU}{e}} $

6. Подставим числовые значения:

$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 $

$ h = \frac{2\pi \cdot 0,866}{0,029} \sqrt{\frac{2 \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^3}{1,6 \cdot 10^{-19}}} $

$ h \approx \frac{5,44}{0,029} \sqrt{\frac{1,822 \cdot 10^{-27}}{1,6 \cdot 10^{-19}}} \approx 187,6 \cdot \sqrt{1,13875 \cdot 10^{-8}} $

$ h \approx 187,6 \cdot 1,067 \cdot 10^{-4} \approx 0,0200 \text{ м} $

Переводя в сантиметры, получаем $h = 2,0 \text{ см}$.

Ответ: 2,0 см.