Номер 3.64, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.64, страница 62.

Условие.

3.64. Электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$, после чего влетает в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ перпендикулярно линиям индукции. Определите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон.

Решение.

Дано:

Ускоряющая разность потенциалов: $\text{U}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Заряд электрона: $\text{e}$

Масса электрона: $m_e$

Начальная скорость электрона: $v_0 = 0$

Угол, под которым электрон влетает в магнитное поле: $\alpha = 90^\circ$

Найти:

Радиус окружности траектории электрона: $\text{R}$

Решение:

1. Электрон, ускоряясь в электрическом поле с разностью потенциалов $\text{U}$, приобретает кинетическую энергию. Согласно теореме о кинетической энергии, работа электрического поля $\text{A}$ равна изменению кинетической энергии электрона.

$A = \Delta W_k$

Работа поля по перемещению заряда $\text{e}$ равна $A = eU$.

Кинетическая энергия, которую приобретает электрон, если его начальная скорость была равна нулю, составляет $W_k = \frac{m_e v^2}{2}$, где $\text{v}$ – скорость электрона после ускорения.

Приравнивая работу и кинетическую энергию, получаем:

$eU = \frac{m_e v^2}{2}$

Из этого соотношения выразим скорость $\text{v}$, с которой электрон влетает в магнитное поле:

$v = \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

2. Когда электрон с зарядом $\text{e}$ и скоростью $\text{v}$ влетает в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_L$. Модуль этой силы определяется формулой:

$F_L = evB\sin\alpha$

Поскольку электрон влетает перпендикулярно линиям индукции, угол $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Таким образом, модуль силы Лоренца равен:

$F_L = evB$

Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости электрона, поэтому она не изменяет величину скорости, а только ее направление. Эта сила является центростремительной и заставляет электрон двигаться по окружности.

3. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна произведению массы на центростремительное ускорение ($a_ц = \frac{v^2}{R}$):

$F_ц = m_e a_ц = \frac{m_e v^2}{R}$

Приравнивая силу Лоренца и центростремительную силу, получаем:

$evB = \frac{m_e v^2}{R}$

4. Выразим из этого уравнения радиус окружности $\text{R}$:

$R = \frac{m_e v}{eB}$

5. Подставим в полученное выражение для радиуса найденную ранее скорость $\text{v}$:

$R = \frac{m_e}{eB} \sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Для упрощения внесем множитель перед корнем под знак корня:

$R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m_e^2}{e^2} \cdot \frac{2eU}{m_e}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}$

Ответ: Радиус окружности, по которой будет двигаться электрон, определяется формулой $R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_e U}{e}}$.