Номер 3.70, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.70, страница 63.

Условие.

3.70**. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией $9,4 \text{ мТл}$ так, что вектор скорости составляет угол $30^\circ$ с линиями индукции (рис. 3.28). Скорость электрона $2,5 \cdot 10^6 \text{ м/с}$. Определите:

а) радиус спирали, по которой движется электрон;

б) расстояние, пройденное им вдоль магнитной линии за три витка.

Рис. 3.28

Решение.

Дано:

$B = 9,4$ мТл

$\alpha = 30^\circ$

$v = 2,5 \cdot 10^6$ м/с

$N = 3$

Справочные данные для электрона:

Заряд $q = e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса $m \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:

$B = 9,4 \text{ мТл} = 9,4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Найти:

а) $\text{R}$ - ?

б) $\text{L}$ - ?

Решение

Когда электрон влетает в однородное магнитное поле под углом $\alpha$ к линиям индукции, его движение можно представить как сумму двух движений: равномерного прямолинейного движения вдоль поля и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю. В результате траектория представляет собой винтовую линию (спираль).

Разложим вектор скорости $\text{v}$ на две составляющие:

1. Продольная составляющая, параллельная вектору магнитной индукции $\vec{B}$: $v_∥ = v \cos\alpha$. Эта составляющая скорости остается постоянной, так как сила Лоренца на нее не действует.

2. Поперечная составляющая, перпендикулярная вектору $\vec{B}$: $v_⊥ = v \sin\alpha$. Эта составляющая скорости отвечает за вращательное движение электрона. Сила Лоренца, действующая на электрон, является центростремительной силой.

а) радиус спирали, по которой движется электрон

Сила Лоренца, действующая на электрон, создает центростремительное ускорение. Угол между вектором $v_⊥$ и вектором $\text{B}$ равен $90^\circ$.

Сила Лоренца: $F_Л = qv_⊥B$

Центростремительная сила: $F_ц = m \frac{v_⊥^2}{R}$

Приравниваем эти силы: $qv_⊥B = m \frac{v_⊥^2}{R}$

Отсюда выражаем радиус спирали $\text{R}$:

$R = \frac{mv_⊥}{qB}$

Подставляем $v_⊥ = v \sin\alpha$:

$R = \frac{mv\sin\alpha}{qB}$

Выполним вычисления:

$R = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 2,5 \cdot 10^6 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ)}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 9,4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}} = \frac{9,1 \cdot 2,5 \cdot 0,5 \cdot 10^{-25}}{1,6 \cdot 9,4 \cdot 10^{-22}} \approx \frac{11,375 \cdot 10^{-25}}{15,04 \cdot 10^{-22}} \approx 0,756 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$R \approx 0,76 \text{ мм}$

Ответ: $R \approx 0,76 \text{ мм}$.

б) расстояние, пройденное им вдоль магнитной линии за три витка

Сначала найдем время одного полного оборота электрона по окружности (период $\text{T}$).

$T = \frac{2\pi R}{v_⊥} = \frac{2\pi R}{v \sin\alpha}$

Подставив выражение для $\text{R}$ из пункта а), получим:

$T = \frac{2\pi}{v \sin\alpha} \cdot \frac{mv\sin\alpha}{qB} = \frac{2\pi m}{qB}$

За время одного оборота (период $\text{T}$) электрон смещается вдоль магнитной линии на расстояние $\text{h}$, которое называется шагом винтовой линии. Это смещение происходит со скоростью $v_∥$.

$h = v_∥ \cdot T = (v \cos\alpha) \cdot \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi mv\cos\alpha}{qB}$

Требуется найти расстояние $\text{L}$, пройденное за три витка ($N=3$).

$L = N \cdot h = 3h = 3 \cdot \frac{2\pi mv\cos\alpha}{qB}$

Выполним вычисления:

$L = 3 \cdot \frac{2 \pi \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 2,5 \cdot 10^6 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ)}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 9,4 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}$

Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$:

$L \approx 3 \cdot \frac{6,28 \cdot 9,1 \cdot 2,5 \cdot 0,866 \cdot 10^{-25}}{1,6 \cdot 9,4 \cdot 10^{-22}} \approx 3 \cdot \frac{123,5 \cdot 10^{-25}}{15,04 \cdot 10^{-22}} \approx 3 \cdot 8,21 \cdot 10^{-3} \text{ м} \approx 24,63 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$L \approx 0,025 \text{ м} = 2,5 \text{ см}$

Проведем более точный расчет шага h:

$h = \frac{2 \cdot 3,14159 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 2,5 \cdot 10^6 \cdot \cos(30^\circ)}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 9,4 \cdot 10^{-3}} \approx 0,00826 \text{ м}$

$L = 3 \cdot h \approx 3 \cdot 0,00826 \text{ м} \approx 0,0248 \text{ м} \approx 2,5 \text{ см}$

Ответ: $L \approx 2,5 \text{ см}$.