Номер 3.63, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.63, страница 62.

Условие.

3.63. Протон и $\alpha$-частица, обладающие одинаковой кинетической энергией, влетают в однородные магнитные поля перпендикулярно линиям индукции. Во сколько раз различаются индукции полей, если частицы движутся по окружностям одинакового радиуса?

Решение.

Дано:

Кинетическая энергия протона и $\alpha$-частицы одинакова: $K_p = K_\alpha = K$.
Радиус окружности, по которой движутся частицы, одинаков: $R_p = R_\alpha = R$.
Протон (p) — ядро атома водорода. Его заряд $q_p = e$ (где $\text{e}$ — элементарный заряд), масса $m_p$.
$\alpha$-частица — ядро атома гелия. Она состоит из двух протонов и двух нейтронов, поэтому ее заряд $q_\alpha = 2e$, а масса приблизительно $m_\alpha \approx 4m_p$.

Найти:

Отношение индукций магнитных полей $\frac{B_p}{B_\alpha}$ или $\frac{B_\alpha}{B_p}$.

Решение:

Когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, на нее действует сила Лоренца $F_L$, которая является центростремительной силой $F_c$.

$F_L = F_c$

Сила Лоренца определяется по формуле: $F_L = qvB$, где $\text{q}$ — заряд частицы, $\text{v}$ — ее скорость, $\text{B}$ — индукция магнитного поля.

Центростремительная сила определяется вторым законом Ньютона: $F_c = \frac{mv^2}{R}$, где $\text{m}$ — масса частицы, $\text{R}$ — радиус окружности.

Приравняем выражения для сил: $qvB = \frac{mv^2}{R}$

Выразим из этого уравнения индукцию магнитного поля $\text{B}$: $B = \frac{mv}{qR}$

Импульс частицы $p = mv$ связан с ее кинетической энергией $K = \frac{mv^2}{2}$ следующим образом: $K = \frac{(mv)^2}{2m} \implies (mv)^2 = 2mK \implies mv = \sqrt{2mK}$

Подставим выражение для импульса в формулу для индукции поля $\text{B}$: $B = \frac{\sqrt{2mK}}{qR}$

Запишем это выражение для протона ($B_p$) и для $\alpha$-частицы ($B_\alpha$), учитывая, что по условию $\text{K}$ и $\text{R}$ для них одинаковы: $B_p = \frac{\sqrt{2m_p K}}{q_p R}$
$B_\alpha = \frac{\sqrt{2m_\alpha K}}{q_\alpha R}$

Найдем отношение индукции поля для $\alpha$-частицы к индукции поля для протона: $\frac{B_\alpha}{B_p} = \frac{\frac{\sqrt{2m_\alpha K}}{q_\alpha R}}{\frac{\sqrt{2m_p K}}{q_p R}} = \frac{\sqrt{2m_\alpha K}}{q_\alpha R} \cdot \frac{q_p R}{\sqrt{2m_p K}}$

Сократив одинаковые величины ($\text{K}$, $\text{R}$, $\sqrt{2}$), получим: $\frac{B_\alpha}{B_p} = \frac{\sqrt{m_\alpha}}{q_\alpha} \cdot \frac{q_p}{\sqrt{m_p}} = \frac{q_p}{q_\alpha} \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}}$

Подставим соотношения для зарядов и масс ($q_\alpha = 2q_p = 2e$, $m_\alpha \approx 4m_p$): $\frac{B_\alpha}{B_p} = \frac{e}{2e} \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Отношение индукций равно 1, следовательно, индукции полей равны.

Ответ: Индукции полей не различаются, они одинаковы (их отношение равно 1).