Номер 3.62, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.62, страница 62.

Условие.

3.62. Однозарядный ион массой $\text{M}$, влетев в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$ перпендикулярно линиям индукции, описал окружность радиусом $\text{R}$. Определите кинетическую энергию иона.

Решение.

Дано

Масса иона: $\text{M}$

Заряд иона: $q = e$ (так как ион однозарядный, его заряд равен элементарному заряду)

Индукция однородного магнитного поля: $\text{B}$

Радиус окружности: $\text{R}$

Ион влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, значит угол между скоростью и вектором индукции $\alpha = 90^\circ$.

Найти:

Кинетическую энергию иона: $E_k$

Решение

На ион, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Величина этой силы определяется формулой:

$F_L = |q|vB\sin\alpha$

где $\text{v}$ – скорость иона. Поскольку ион влетает в поле перпендикулярно линиям индукции, $\alpha = 90^\circ$, и $\sin(90^\circ) = 1$. Заряд иона $|q| = e$. Тогда формула для силы Лоренца принимает вид:

$F_L = evB$

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости заряженной частицы, поэтому она не совершает работы и не изменяет величину скорости (и кинетическую энергию). Она лишь изменяет направление скорости, заставляя ион двигаться по окружности. Таким образом, сила Лоренца является центростремительной силой.

Центростремительная сила, действующая на тело массой $\text{M}$, движущееся по окружности радиусом $\text{R}$ со скоростью $\text{v}$, равна:

$F_c = \frac{Mv^2}{R}$

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$F_L = F_c$

$evB = \frac{Mv^2}{R}$

Из этого уравнения мы можем выразить скорость иона $\text{v}$. Сократив на $\text{v}$ (скорость не равна нулю), получим:

$eB = \frac{Mv}{R}$

Отсюда скорость равна:

$v = \frac{eBR}{M}$

Кинетическая энергия иона определяется по формуле:

$E_k = \frac{Mv^2}{2}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для скорости $\text{v}$:

$E_k = \frac{M}{2} \left(\frac{eBR}{M}\right)^2 = \frac{M}{2} \frac{e^2B^2R^2}{M^2}$

Сократив $\text{M}$, получаем окончательное выражение для кинетической энергии:

$E_k = \frac{e^2B^2R^2}{2M}$

Ответ: $E_k = \frac{e^2B^2R^2}{2M}$