Номер 3.65, страница 62 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.65, страница 62.

Условие.

3.65. Однозарядный ион начинает двигаться из состояния покоя и проходит ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$. Попав в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$, ион описывает окружность радиусом $\text{R}$. Найдите:

а) импульс $\text{p}$ иона;

б) скорость $\text{v}$ и массу $\text{m}$.

Решение.

Дано:

Заряд иона: $q = e$ (однозарядный)

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Ускоряющая разность потенциалов: $\text{U}$

Индукция магнитного поля: $\text{B}$

Радиус окружности: $\text{R}$

Найти:

а) $\text{p}$ - ?

б) $\text{v}$ - ?, $\text{m}$ - ?

Решение:

а) импульс $\text{p}$ иона

Когда ион влетает в однородное магнитное поле, на него действует сила Лоренца. Так как ион движется по окружности, вектор его скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции. Сила Лоренца в этом случае является центростремительной силой:

$F_Л = F_ц$

Сила Лоренца для однозарядного иона ($q=e$) равна:

$F_Л = evB$

Центростремительная сила, действующая на ион массы $\text{m}$, движущийся со скоростью $\text{v}$ по окружности радиусом $\text{R}$:

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

Приравниваем выражения для сил:

$evB = \frac{mv^2}{R}$

Сократив на скорость $\text{v}$ (так как $v \neq 0$), получаем:

$eB = \frac{mv}{R}$

Произведение массы на скорость $\text{mv}$ есть импульс иона $\text{p}$. Таким образом:

$eB = \frac{p}{R}$

Отсюда выражаем импульс $\text{p}$:

$p = eBR$

Ответ: $p = eBR$.

б) скорость $\text{v}$ и массу $\text{m}$

Ион начинает движение из состояния покоя и ускоряется электрическим полем, проходя разность потенциалов $\text{U}$. По теореме о кинетической энергии, работа, совершенная электрическим полем, равна изменению кинетической энергии иона.

$A = \Delta K = K_{конечная} - K_{начальная}$

Работа электрического поля $A = qU = eU$.

Начальная кинетическая энергия $K_{начальная} = 0$, так как ион находился в покое. Конечная кинетическая энергия $K_{конечная} = \frac{mv^2}{2}$.

Следовательно:

$eU = \frac{mv^2}{2}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1) $mv = eBR$ (из пункта а)

2) $eU = \frac{mv^2}{2}$

Из первого уравнения выразим массу $m = \frac{eBR}{v}$ и подставим во второе:

$eU = \frac{1}{2} \left( \frac{eBR}{v} \right) v^2 = \frac{1}{2} eBRv$

Выразим из этого уравнения скорость $\text{v}$:

$U = \frac{1}{2} BRv \implies v = \frac{2U}{BR}$

Теперь, зная скорость, найдем массу $\text{m}$, подставив выражение для $\text{v}$ в первое уравнение $m = \frac{eBR}{v}$:

$m = \frac{eBR}{\frac{2U}{BR}} = eBR \cdot \frac{BR}{2U} = \frac{eB^2R^2}{2U}$

Ответ: $v = \frac{2U}{BR}$, $m = \frac{eB^2R^2}{2U}$.