Номер 3.75, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.75, страница 64.

Условие.

3.75**. Выведите формулу, связывающую магнитную индукцию $\text{B}$ поля циклотрона и частоту $\nu$ приложенной к дуантам разности потенциалов. Найдите частоту $\nu$ для:

а) протонов;

б) дейтронов (ядро дейтерия, состоит из 1 протона и 1 нейтрона);

в) $\alpha$-частиц. Магнитная индукция равна 1,26 Тл.

Решение.

В циклотроне на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости частицы, поэтому она сообщает частице центростремительное ускорение и заставляет ее двигаться по окружности. Сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы:

$F_Л = F_{цс}$

Запишем это равенство в виде формулы:

$|q|vB = \frac{mv^2}{r}$

где $\text{q}$ — заряд частицы, $\text{v}$ — ее скорость, $\text{B}$ — магнитная индукция, $\text{m}$ — масса частицы, $\text{r}$ — радиус траектории.

Период одного полного оборота частицы по окружности $\text{T}$ можно найти как отношение длины окружности $2\pi r$ к скорости движения $\text{v}$:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Из уравнения для сил выразим отношение $r/v$:

$\frac{r}{v} = \frac{m}{|q|B}$

Подставим это выражение в формулу для периода:

$T = 2\pi \frac{m}{|q|B}$

Важно отметить, что период обращения не зависит от скорости частицы и радиуса ее траектории. Это основное условие работы циклотрона.

Частота обращения частицы $\nu$, называемая также циклотронной частотой, является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{|q|B}{2\pi m}$

Для того чтобы частицы ускорялись, частота переменного электрического поля, приложенного к дуантам, должна совпадать с частотой обращения частиц в магнитном поле. Таким образом, полученная формула и есть искомая связь между магнитной индукцией $\text{B}$ и частотой $\nu$.

Теперь найдем частоту для указанных частиц.

Дано

Магнитная индукция: $B = 1.26$ Тл
Элементарный заряд: $e = 1.602 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса протона: $m_p = 1.6726 \cdot 10^{-27}$ кг
Масса нейтрона: $m_n = 1.6749 \cdot 10^{-27}$ кг
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\nu_p$ — частоту для протонов;
$\nu_d$ — частоту для дейтронов;
$\nu_\alpha$ — частоту для $\alpha$-частиц.

Решение

Будем использовать выведенную формулу: $\nu = \frac{|q|B}{2\pi m}$.

а) для протонов

Протон имеет заряд $q_p = e$ и массу $m_p$.

$\nu_p = \frac{eB}{2\pi m_p} = \frac{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1.26 \text{ Тл}}{2\pi \cdot 1.6726 \cdot 10^{-27} \text{ кг}} \approx 19.2 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 19.2 \text{ МГц}$

Ответ: Частота для протонов составляет примерно $19.2$ МГц.

б) для дейтронов

Дейтрон (ядро дейтерия) состоит из одного протона и одного нейтрона. Его заряд $q_d = e$, а масса $m_d = m_p + m_n$.

$m_d = 1.6726 \cdot 10^{-27} \text{ кг} + 1.6749 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 3.3475 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$\nu_d = \frac{eB}{2\pi m_d} = \frac{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1.26 \text{ Тл}}{2\pi \cdot 3.3475 \cdot 10^{-27} \text{ кг}} \approx 9.6 \cdot 10^6 \text{ Гц} = 9.6 \text{ МГц}$

Ответ: Частота для дейтронов составляет примерно $9.6$ МГц.

в) для α-частиц

$\alpha$-частица (ядро атома гелия) состоит из двух протонов и двух нейтронов. Ее заряд $q_\alpha = 2e$, а масса $m_\alpha = 2m_p + 2m_n = 2(m_p + m_n) = 2m_d$.

$m_\alpha = 2 \cdot 3.3475 \cdot 10^{-27} \text{ кг} = 6.695 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$

$\nu_\alpha = \frac{|q_\alpha|B}{2\pi m_\alpha} = \frac{2eB}{2\pi (2m_d)} = \frac{eB}{2\pi m_d} = \nu_d$

Как видно из формулы, частота для $\alpha$-частиц совпадает с частотой для дейтронов, так как отношение их заряда к массе одинаково: $\frac{q_d}{m_d} = \frac{e}{m_d}$ и $\frac{q_\alpha}{m_\alpha} = \frac{2e}{2m_d} = \frac{e}{m_d}$.

$\nu_\alpha = \nu_d \approx 9.6 \text{ МГц}$

Ответ: Частота для $\alpha$-частиц составляет примерно $9.6$ МГц.