Номер 3.74, страница 64 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.74, страница 64.

Условие.

3.74**. Электрон движется в однородном магнитном поле (см. рис. 3.29). В точке А он имеет скорость 16 800 км/с, при этом вектор скорости составляет с линиями магнитной индукции угол 60°. При какой индукции магнитного поля электрон окажется в точке С? Расстояние $AC=5$ см.

Решение.

Дано:

Скорость электрона, $v = 16800$ км/с

Угол между вектором скорости и линиями магнитной индукции, $\alpha = 60^\circ$

Расстояние, $L = AC = 5$ см

Масса электрона, $m \approx 9.1 \times 10^{-31}$ кг

Модуль заряда электрона, $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:
$v = 16800 \text{ км/с} = 16800 \times 10^3 \text{ м/с} = 1.68 \times 10^7 \text{ м/с}$
$L = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Индукция магнитного поля, $\text{B}$

Решение:

Движение электрона в однородном магнитном поле можно представить как суперпозицию двух движений: равномерного движения вдоль линий магнитной индукции и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной этим линиям. В результате траектория движения электрона является винтовой линией (спиралью).

Разложим вектор скорости $\vec{v}$ на две составляющие: параллельную линиям магнитной индукции $v_{\parallel}$ и перпендикулярную им $v_{\perp}$.

$v_{\parallel} = v \cos\alpha$

$v_{\perp} = v \sin\alpha$

На электрон действует сила Лоренца $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$, которая перпендикулярна вектору скорости. Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по окружности. Величина силы Лоренца, ответственная за вращение, равна $F_L = e v_{\perp} B$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы на центростремительное ускорение:

$e v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

где $\text{R}$ - радиус окружности, по которой движется электрон.

Период одного полного оборота электрона по окружности равен:

$T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}}$

Из уравнения для силы Лоренца выразим радиус $R = \frac{m v_{\perp}}{eB}$ и подставим в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{v_{\perp}} \left( \frac{m v_{\perp}}{eB} \right) = \frac{2\pi m}{eB}$

За время одного оборота $\text{T}$ электрон смещается вдоль линий магнитной индукции на расстояние, называемое шагом винтовой линии $\text{h}$:

$h = v_{\parallel} T = (v \cos\alpha) \frac{2\pi m}{eB}$

Так как рисунок 3.29 не предоставлен, будем исходить из наиболее вероятного предположения, что точки А и С лежат на одной силовой линии магнитного поля, и расстояние $L = AC$ равно шагу винтовой линии $\text{h}$, что соответствует одному полному обороту электрона.

Тогда $L = h$, и мы можем записать:

$L = \frac{2\pi m v \cos\alpha}{eB}$

Выразим из этой формулы искомую индукцию магнитного поля $\text{B}$:

$B = \frac{2\pi m v \cos\alpha}{eL}$

Подставим числовые значения:

$B = \frac{2 \times 3.14 \times (9.1 \times 10^{-31} \text{ кг}) \times (1.68 \times 10^7 \text{ м/с}) \times \cos60^\circ}{(1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \times 0.05 \text{ м}}$

Учитывая, что $\cos60^\circ = 0.5$:

$B = \frac{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 1.68 \times 0.5}{1.6 \times 0.05} \times \frac{10^{-31} \times 10^7}{10^{-19}} \text{ Тл} \approx \frac{48.0}{0.08} \times 10^{-24} \times 10^{19} \text{ Тл}$

$B \approx 600 \times 10^{-5} \text{ Тл} = 6.0 \times 10^{-3} \text{ Тл} = 6.0 \text{ мТл}$

Ответ: Индукция магнитного поля равна $6.0 \times 10^{-3}$ Тл (или 6.0 мТл).