Номер 3.73, страница 63 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.73, страница 63.

Условие.

3.73**. Электрон влетает в однородное магнитное поле. В точке A он имеет скорость $\vec{v}$, которая составляет с линиями магнитной индукции угол $\alpha$ (рис. 3.29). При какой индукции магнитного поля электрон окажется в точке C? Расстояние $AC = L$.

Рис. 3.29

Решение.

Дано:

Частица: электрон
Масса электрона: $\text{m}$
Модуль заряда электрона: $\text{e}$
Начальная скорость: $\text{v}$
Угол между скоростью и линиями индукции: $\alpha$
Расстояние $\text{AC}$: $\text{L}$

Найти:

Индукцию магнитного поля $\text{B}$.

Решение:

На движущийся электрон в магнитном поле действует сила Лоренца $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $q = -e$. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}$ и вектору магнитной индукции $\vec{B}$.

Движение электрона можно разложить на два независимых движения:

1. Движение вдоль линий магнитной индукции. Так как сила Лоренца перпендикулярна $\vec{B}$, она не влияет на составляющую скорости, параллельную полю. Эта составляющая равна $v_{||} = v \cos \alpha$. Движение вдоль поля является равномерным и прямолинейным.

2. Движение в плоскости, перпендикулярной линиям индукции. В этой плоскости на электрон действует сила Лоренца, модуль которой равен $F_Л = e v_{\perp} B$, где $v_{\perp} = v \sin \alpha$ - составляющая скорости, перпендикулярная полю. Эта сила является центростремительной и заставляет электрон двигаться по окружности.

В результате сложения этих двух движений траектория электрона представляет собой винтовую линию (спираль).

Электрон должен попасть из точки А в точку С, которая находится на расстоянии $\text{L}$ от А вдоль силовой линии. Время, за которое электрон преодолеет это расстояние, двигаясь со скоростью $v_{||}$, равно: $$t = \frac{L}{v_{||}} = \frac{L}{v \cos \alpha}$$

Чтобы электрон оказался в точке C, лежащей на одной оси с точкой A, необходимо, чтобы за время полета $\text{t}$ он совершил целое число полных оборотов $\text{n}$ в плоскости, перпендикулярной полю. Это означает, что время полета $\text{t}$ должно быть кратно периоду обращения $\text{T}$ по окружности: $$t = nT, \text{ где } n = 1, 2, 3, \ldots$$

Найдем период обращения $\text{T}$. Сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона: $$F_Л = m a_ц \Rightarrow e v_{\perp} B = m \frac{v_{\perp}^2}{R}$$ где $\text{R}$ - радиус окружности.

Период обращения - это время, за которое электрон проходит длину окружности $2\pi R$ со скоростью $v_{\perp}$: $$T = \frac{2\pi R}{v_{\perp}}$$ Из уравнения второго закона Ньютона выразим $R = \frac{m v_{\perp}}{eB}$ и подставим в формулу для периода: $$T = \frac{2\pi}{v_{\perp}} \left( \frac{m v_{\perp}}{eB} \right) = \frac{2\pi m}{eB}$$

Теперь приравняем выражения для времени полета $\text{t}$: $$\frac{L}{v \cos \alpha} = n \frac{2\pi m}{eB}$$

Из этого соотношения выразим искомую величину индукции магнитного поля $\text{B}$: $$B = \frac{2\pi n m v \cos \alpha}{eL}$$

Ответ: Индукция магнитного поля, при которой электрон окажется в точке С, определяется выражением $B = \frac{2\pi n m v \cos \alpha}{eL}$, где $\text{m}$ и $\text{e}$ - масса и модуль заряда электрона соответственно, а $\text{n}$ - любое целое положительное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$).