Номер 3.53, страница 61 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.53, страница 61.

Условие.

3.53. $\alpha$-Частица движется по окружности радиусом $\text{R}$ в однородном магнитном поле. Во сколько раз нужно изменить индукцию магнитного поля, чтобы по такой же траектории стал двигаться протон с той же скоростью?

Решение.

Дано:

$R_{\alpha} = R_{p} = R$ (радиус траектории)

$v_{\alpha} = v_{p} = v$ (скорость)

Частица 1: $\alpha$-частица (ядро гелия $He^{2+}$)

Частица 2: протон ($\text{p}$)

Найти:

Во сколько раз нужно изменить индукцию магнитного поля, т.е. найти отношение $\frac{B_{p}}{B_{\alpha}}$.

Решение:

На заряженную частицу, которая движется в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца. Эта сила является центростремительной и заставляет частицу двигаться по окружности. Величина силы Лоренца равна:

$F_Л = qvB$

где $\text{q}$ — заряд частицы, $\text{v}$ — ее скорость, а $\text{B}$ — индукция магнитного поля.

Центростремительная сила, которая обеспечивает движение по окружности радиусом $\text{R}$, определяется вторым законом Ньютона:

$F_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $\text{m}$ — масса частицы.

Приравнивая выражения для силы Лоренца и центростремительной силы, получаем условие для движения частицы по окружности в магнитном поле:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого соотношения можно выразить радиус траектории частицы:

$R = \frac{mv}{qB}$

Запишем это уравнение для $\alpha$-частицы (с индексом $\alpha$) и для протона (с индексом $\text{p}$):

$R_{\alpha} = \frac{m_{\alpha}v_{\alpha}}{q_{\alpha}B_{\alpha}}$

$R_p = \frac{m_p v_p}{q_p B_p}$

Согласно условию задачи, радиусы траекторий и скорости частиц одинаковы: $R_{\alpha} = R_p$ и $v_{\alpha} = v_p$. Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\frac{m_{\alpha}v}{q_{\alpha}B_{\alpha}} = \frac{m_p v}{q_p B_p}$

Сократим на скорость $\text{v}$ и выразим искомое отношение индукций $B_p/B_{\alpha}$:

$\frac{m_{\alpha}}{q_{\alpha}B_{\alpha}} = \frac{m_p}{q_p B_p} \implies m_{\alpha}q_p B_p = m_p q_{\alpha}B_{\alpha}$

$\frac{B_p}{B_{\alpha}} = \frac{m_p q_{\alpha}}{m_{\alpha} q_p}$

Теперь воспользуемся известными данными о зарядах и массах частиц. $\alpha$-частица — это ядро атома гелия, оно состоит из 2 протонов и 2 нейтронов. Поэтому ее заряд в два раза больше заряда протона ($q_{\alpha} = 2q_p$), а ее масса примерно в четыре раза больше массы протона ($m_{\alpha} \approx 4m_p$), так как массы протона и нейтрона почти равны.

Подставим эти соотношения в полученную формулу:

$\frac{B_p}{B_{\alpha}} = \frac{m_p \cdot (2q_p)}{(4m_p) \cdot q_p} = \frac{2 m_p q_p}{4 m_p q_p} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Полученное отношение показывает, что индукция магнитного поля для протона ($B_p$) должна быть в 2 раза меньше, чем индукция поля для $\alpha$-частицы ($B_{\alpha}$).

Ответ: индукцию магнитного поля нужно уменьшить в 2 раза.