Номер 3.48, страница 60 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.48, страница 60.

Условие.

3.48*. Охарактеризуйте движение заряженной частицы в ситуации, изображённой на рисунке 3.25. Силой тяжести можно пренебречь.

Рис. 3.25

Решение.

Решение

Для определения характера движения заряженной частицы в каждом случае воспользуемся формулой для силы Лоренца, действующей на заряд $\text{q}$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в электрическом поле с напряженностью $\vec{E}$ и магнитном поле с индукцией $\vec{B}$:

$\vec{F} = q(\vec{E} + [\vec{v} \times \vec{B}])$

Силой тяжести пренебрегаем по условию задачи.

а)

В этом случае на положительно заряженную частицу действует только магнитное поле $\vec{B}$. Электрическое поле отсутствует ($\vec{E}=0$). Вектор скорости частицы $\vec{v}$ параллелен вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$ равен нулю. Магнитная составляющая силы Лоренца равна:

$F_B = |q|vB\sin\alpha = |q|vB\sin(0^\circ) = 0$

Поскольку сила, действующая на частицу, равна нулю, то согласно первому закону Ньютона, частица будет двигаться равномерно и прямолинейно.

Ответ: Частица движется равномерно и прямолинейно.

б)

На отрицательно заряженную частицу действует только магнитное поле $\vec{B}$ ($\vec{E}=0$). Вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$ (угол $\alpha = 90^\circ$). В этом случае сила Лоренца не равна нулю, её модуль постоянен:

$F_B = |q|vB\sin(90^\circ) = |q|vB$

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки (для отрицательного заряда). В начальный момент времени сила направлена перпендикулярно плоскости рисунка, от нас. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому она не совершает работы и не изменяет модуль скорости частицы. Сила Лоренца сообщает частице центростремительное ускорение. В результате частица будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$.

Ответ: Частица движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

в)

На отрицательно заряженную частицу действуют одновременно электрическое поле $\vec{E}$ и магнитное поле $\vec{B}$. Векторы $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны. Результирующая сила равна векторной сумме электрической и магнитной сил:

$\vec{F} = \vec{F}_E + \vec{F}_B = q\vec{E} + q[\vec{v} \times \vec{B}]$

Электрическая сила $\vec{F}_E = q\vec{E}$. Так как заряд $\text{q}$ отрицательный, а вектор $\vec{E}$ направлен вниз, сила $\vec{F}_E$ направлена вверх. Эта сила постоянна и сообщает частице постоянное ускорение в направлении, перпендикулярном начальной скорости.

Магнитная сила $\vec{F}_B = q[\vec{v} \times \vec{B}]$. Аналогично случаю (б), эта сила в начальный момент направлена от нас (перпендикулярно плоскости рисунка) и заставляет частицу отклоняться в этом направлении.

Движение частицы является суперпозицией двух движений: равноускоренного движения вверх под действием электрической силы и движения по окружности в горизонтальной плоскости под действием магнитной силы. В результате траектория частицы будет представлять собой винтовую линию, ось которой параллельна векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$, причём шаг винтовой линии будет увеличиваться со временем, так как скорость вдоль оси будет расти.

Ответ: Частица движется по винтовой линии с увеличивающимся шагом.

г)

На положительно заряженную частицу действует только магнитное поле $\vec{B}$ ($\vec{E}=0$). Вектор скорости $\vec{v}$ направлен под углом $\alpha$ к вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Разложим вектор скорости на две составляющие: $\vec{v}_{||}$ — параллельную $\vec{B}$, и $\vec{v}_{\perp}$ — перпендикулярную $\vec{B}$.

$v_{||} = v\cos\alpha$

$v_{\perp} = v\sin\alpha$

На составляющую скорости $\vec{v}_{||}$ магнитное поле не действует ($F_{B,||} = 0$). Поэтому вдоль направления поля $\vec{B}$ частица движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v_{||}$.

На составляющую скорости $\vec{v}_{\perp}$ действует сила Лоренца $F_{B, \perp} = |q|v_{\perp}B$, которая перпендикулярна $\vec{v}_{\perp}$ и $\vec{B}$. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$.

Сложение равномерного прямолинейного движения вдоль оси и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной этой оси, дает движение по винтовой линии с постоянным шагом.

Ответ: Частица движется по винтовой линии с постоянным шагом.

д)

На положительно заряженную частицу действуют параллельные друг другу электрическое $\vec{E}$ и магнитное $\vec{B}$ поля. Вектор начальной скорости $\vec{v}$ составляет угол $\alpha$ с направлением полей. Разложим вектор скорости на две составляющие: $\vec{v}_{||}$ — параллельную полям, и $\vec{v}_{\perp}$ — перпендикулярную им.

$v_{||} = v\cos\alpha$

$v_{\perp} = v\sin\alpha$

Движение вдоль полей (вдоль оси Ох, если направить ее по $\vec{E}$ и $\vec{B}$): на частицу действует постоянная электрическая сила $F_E = qE$, которая сообщает ей постоянное ускорение $a = qE/m$. Магнитное поле на эту составляющую скорости не действует. Таким образом, вдоль полей частица движется равноускоренно.

Движение в плоскости, перпендикулярной полям: на составляющую скорости $\vec{v}_{\perp}$ действует только магнитная сила Лоренца $F_B = qv_{\perp}B$, направленная перпендикулярно $\vec{v}_{\perp}$. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной полям.

В результате сложения равноускоренного движения вдоль оси и равномерного движения по окружности в перпендикулярной плоскости траектория частицы представляет собой винтовую линию с увеличивающимся шагом.

Ответ: Частица движется по винтовой линии с увеличивающимся шагом.