Номер 3.41, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Сила Лоренца - номер 3.41, страница 58.

Условие.

3.41. Может ли сила Лоренца:

а) изменить модуль скорости частицы;

б) совершить механическую работу?

Решение.

Решение

а) изменить модуль скорости частицы

Сила Лоренца (в данном контексте имеется в виду её магнитная составляющая, действующая на движущийся заряд в магнитном поле) определяется формулой $ \vec{F}_Л = q[\vec{v} \times \vec{B}] $, где $ q $ – заряд частицы, $ \vec{v} $ – её скорость, а $ \vec{B} $ – вектор магнитной индукции.

Согласно определению векторного произведения, вектор силы Лоренца $ \vec{F}_Л $ всегда перпендикулярен вектору скорости $ \vec{v} $. Сила, направленная перпендикулярно вектору скорости, может изменить только направление движения частицы, но не величину её скорости (её модуль). Такая сила является центростремительной.

Также это можно показать через работу и энергию. Мощность силы Лоренца равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости: $ P = \vec{F}_Л \cdot \vec{v} $. Поскольку векторы $ \vec{F}_Л $ и $ \vec{v} $ взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, а значит, и мощность $ P=0 $. Так как мощность есть скорость изменения кинетической энергии ($ P = \frac{dK}{dt} $), то при $ P=0 $ кинетическая энергия $ K = \frac{mv^2}{2} $ частицы сохраняется. При постоянной массе это означает, что модуль скорости $\text{v}$ также остается постоянным.

Ответ: Нет, сила Лоренца не может изменить модуль скорости частицы.

б) совершить механическую работу

Механическая работа $ A $ силы на некотором пути определяется как интеграл от скалярного произведения вектора силы на вектор элементарного перемещения: $ A = \int \vec{F} \cdot d\vec{l} $.

Элементарное перемещение за время $ dt $ равно $ d\vec{l} = \vec{v}dt $. Тогда элементарная работа силы Лоренца $ dA = \vec{F}_Л \cdot d\vec{l} = \vec{F}_Л \cdot \vec{v}dt $.

Как было установлено в предыдущем пункте, скалярное произведение силы Лоренца и скорости равно нулю: $ \vec{F}_Л \cdot \vec{v} = 0 $. Это означает, что элементарная работа силы Лоренца на любом, сколь угодно малом участке траектории, равна нулю ($ dA=0 $). Следовательно, и полная работа на любом конечном участке пути также равна нулю.

Ответ: Нет, сила Лоренца не может совершить механическую работу.