Номер 3.37, страница 58 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.37, страница 58.

Условие.

3.37*. В однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен под углом $30^\circ$ к вертикали и имеет модуль $0.2 \text{ Тл}$, вертикально вверх движется прямой проводник массой $20 \text{ г}$. Сила тока в проводнике $4 \text{ А}$. Через $3 \text{ с}$ после начала движения скорость проводника равна $10 \text{ м/с}$. Определите длину проводника.

Решение.

Дано:

Угол между вектором индукции и вертикалью, $ \alpha = 30° $
Модуль магнитной индукции, $ B = 0,2 $ Тл
Масса проводника, $ m = 20 $ г
Сила тока, $ I = 4 $ А
Время движения, $ t = 3 $ с
Конечная скорость, $ v = 10 $ м/с
Начальная скорость, $ v_0 = 0 $ м/с

$ m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг} $

Найти:

Длину проводника, $ L $.

Решение:

На проводник, движущийся вертикально вверх, действуют две силы: сила тяжести $ \vec{F_т} $, направленная вертикально вниз, и сила Ампера $ \vec{F_А} $, создаваемая магнитным полем. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $ m\vec{a} = \vec{F_А} + \vec{F_т} $.

Выберем вертикальную ось OY, направленную вверх. В проекции на эту ось уравнение примет вид:

$ ma = F_{Аy} - F_т $

где $ F_{Аy} $ — проекция силы Ампера на вертикальную ось, а $ F_т = mg $.

Поскольку проводник движется вертикально, он должен быть расположен горизонтально. Вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ находится в вертикальной плоскости и образует угол $ \alpha = 30° $ с вертикалью. Угол между направлением тока в горизонтальном проводнике и вектором $ \vec{B} $ равен $ 90° $. Поэтому модуль силы Ампера определяется по формуле:

$ F_А = IBL\sin(90°) = IBL $

Согласно правилу левой руки, сила Ампера $ \vec{F_А} $ перпендикулярна как проводнику (току), так и вектору магнитной индукции $ \vec{B} $. Так как $ \vec{B} $ образует угол $ \alpha = 30° $ с вертикалью, то перпендикулярная ему сила $ \vec{F_А} $ будет образовывать с вертикалью угол $ 90° - \alpha = 90° - 30° = 60° $. Тогда проекция силы Ампера на вертикальную ось равна:

$ F_{Аy} = F_А \cos(60°) = IBL\cos(60°) = IBL\sin(30°) $

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$ ma = IBL\sin(30°) - mg $

Проводник движется с постоянным ускорением, так как все действующие на него силы постоянны. Ускорение можно найти из формулы скорости для равноускоренного движения: $ v = v_0 + at $. Учитывая, что $ v_0 = 0 $, получаем:

$ a = \frac{v}{t} $

Теперь подставим выражение для ускорения в уравнение сил:

$ m\frac{v}{t} = IBL\sin(30°) - mg $

Выразим из этого уравнения искомую длину проводника $ L $:

$ m(\frac{v}{t} + g) = IBL\sin(30°) $

$ L = \frac{m(\frac{v}{t} + g)}{IB\sin(30°)} $

Произведем вычисления, приняв ускорение свободного падения $ g \approx 10 \text{ м/с}^2 $:

$ L = \frac{0,02 \text{ кг} \cdot (\frac{10 \text{ м/с}}{3 \text{ с}} + 10 \text{ м/с²})}{4 \text{ А} \cdot 0,2 \text{ Тл} \cdot \sin(30°)} = \frac{0,02 \cdot (\frac{10}{3} + \frac{30}{3})}{0,8 \cdot 0,5} = \frac{0,02 \cdot \frac{40}{3}}{0,4} = \frac{\frac{0,8}{3}}{0,4} = \frac{0,8}{3 \cdot 0,4} = \frac{0,8}{1,2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \text{ м} $

Ответ: $ L = \frac{2}{3} \text{ м} \approx 0,67 \text{ м}$.