Номер 3.31, страница 57 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.31, страница 57.

Условие.

3.31*. В однородном магнитном поле с индукцией 1 мТл располагается горизонтально проводник с током длиной 10 см. При этом действующая на проводник сила тяжести уравновешивается силой Ампера. Напряжение на концах проводника 100 В, его удельное сопротивление $10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$. Чему равна плотность материала этого проводника?

Решение.

Дано

Индукция магнитного поля, $B = 1 \text{ мТл} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$
Длина проводника, $l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
Напряжение, $U = 100 \text{ В}$
Удельное сопротивление, $\rho_{уд} = 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Плотность материала проводника, $\rho$

Решение

По условию задачи, сила тяжести, действующая на проводник, уравновешена силой Ампера. Это означает, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

$F_g = F_A$

Сила тяжести определяется по формуле: $F_g = m \cdot g$, где $\text{m}$ - масса проводника.

Сила Ампера, действующая на прямой проводник с током в однородном магнитном поле, определяется как $F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin\alpha$, где $\text{I}$ - сила тока, $\text{l}$ - длина проводника, $\text{B}$ - индукция магнитного поля, $\alpha$ - угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Чтобы сила Ампера была направлена вертикально вверх и уравновешивала силу тяжести, она должна быть максимальной. Это достигается, когда проводник с током перпендикулярен линиям магнитной индукции, то есть $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

Тогда $F_A = I \cdot B \cdot l$.

Приравниваем силы: $m \cdot g = I \cdot B \cdot l$.

Массу проводника $\text{m}$ можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$: $m = \rho \cdot V$. Объем проводника, имеющего форму цилиндра, равен $V = S \cdot l$, где $\text{S}$ - площадь поперечного сечения. Таким образом, $m = \rho \cdot S \cdot l$.

Подставим выражение для массы в уравнение равновесия сил:

$\rho \cdot S \cdot l \cdot g = I \cdot B \cdot l$

Сократим длину $\text{l}$:

$\rho \cdot S \cdot g = I \cdot B$

Силу тока $\text{I}$ найдем из закона Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$, где $\text{R}$ - сопротивление проводника.

Сопротивление проводника выражается через его удельное сопротивление $\rho_{уд}$, длину $\text{l}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$: $R = \rho_{уд} \frac{l}{S}$.

Тогда сила тока равна: $I = \frac{U}{\rho_{уд} \frac{l}{S}} = \frac{U \cdot S}{\rho_{уд} \cdot l}$.

Подставим это выражение для силы тока в уравнение $\rho \cdot S \cdot g = I \cdot B$:

$\rho \cdot S \cdot g = \frac{U \cdot S}{\rho_{уд} \cdot l} \cdot B$

Площадь поперечного сечения $\text{S}$ сокращается. Это позволяет решить задачу, не зная толщины проводника.

$\rho \cdot g = \frac{U \cdot B}{\rho_{уд} \cdot l}$

Выразим искомую плотность $\rho$:

$\rho = \frac{U \cdot B}{\rho_{уд} \cdot l \cdot g}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\rho = \frac{100 \text{ В} \cdot 10^{-3} \text{ Тл}}{10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{10^{-1}}{10^{-5} \cdot 10^{-1} \cdot 10} = \frac{10^{-1}}{10^{-5}} = 10^4 \text{ кг/м}^3 = 10000 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность материала проводника равна $10000 \text{ кг/м}^3$.