Номер 3.32, страница 57 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 3. Электромагнетизм. Магнитное поле тока. Магнитная индукция - номер 3.32, страница 57.

Условие.

3.32*. В однородном магнитном поле с индукцией $20 \text{ мТл}$ на нитях подвешен алюминиевый проводник MN длиной $20 \text{ см}$ (рис. 3.16). Площадь поперечного сечения проводника $2 \text{ мм}^2$. ЭДС источника тока $12 \text{ В}$, его внутреннее сопротивление $2 \text{ Ом}$, сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь. Определите:

а) на сколько изменится сила натяжения нитей при замыкании ключа K;

б) какими должны быть модуль и направление вектора магнитной индукции $\vec{B}$, чтобы сила натяжения нитей стала равна нулю.

Рис. 3.16

Решение.

Дано:

$B = 20$ мТл

$L = 20$ см

$S = 2$ мм²

$\mathcal{E} = 12$ В

$r = 2$ Ом

Проводник алюминиевый.

Удельное сопротивление алюминия $\rho_{el} = 2.8 \cdot 10^{-8}$ Ом·м

Плотность алюминия $\rho_{Al} = 2.7 \cdot 10^{3}$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$B = 20 \cdot 10^{-3}$ Тл = $0.02$ Тл

$L = 0.2$ м

$S = 2 \cdot 10^{-6}$ м²

Найти:

а) $\Delta T$ - изменение силы натяжения нитей

б) $B'$, направление $\vec{B'}$ - модуль и направление вектора магнитной индукции, при которых сила натяжения нитей $T_1 = 0$.

Решение:

а) на сколько изменится сила натяжения нитей при замыкании ключа K;

До замыкания ключа K на проводник действуют сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и суммарная сила натяжения нитей $T_0$, направленная вверх. В состоянии равновесия:

$T_0 = F_g$

После замыкания ключа в цепи потечет ток. Вычислим сопротивление алюминиевого проводника $\text{R}$:

$R = \rho_{el} \frac{L}{S} = 2.8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом·м} \cdot \frac{0.2 \text{ м}}{2 \cdot 10^{-6} \text{ м²}} = 2.8 \cdot 10^{-3}$ Ом.

Сила тока $\text{I}$ в цепи по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r} = \frac{12 \text{ В}}{2.8 \cdot 10^{-3} \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}} = \frac{12}{2.0028} \text{ А} \approx 5.99$ А.

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера $F_A$. Согласно рисунку, ток в проводнике $\text{MN}$ течет от M к N (от «+» к «-» источника). Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. По правилу левой руки, сила Ампера $\vec{F_A}$ направлена вертикально вверх.

Величина силы Ампера:

$F_A = IBL\sin\alpha$.

Поскольку проводник перпендикулярен вектору магнитной индукции, $\alpha = 90^\circ$, $\sin\alpha = 1$.

$F_A = 5.99 \text{ А} \cdot 0.02 \text{ Тл} \cdot 0.2 \text{ м} \approx 0.024$ Н.

Теперь условие равновесия проводника имеет вид (сила натяжения нитей стала $T_1$):

$T_1 + F_A = F_g$

Изменение силы натяжения нитей $\Delta T$ равно:

$\Delta T = T_0 - T_1 = F_g - (F_g - F_A) = F_A$.

Таким образом, сила натяжения нитей уменьшится на величину силы Ампера.

$\Delta T = 0.024$ Н = $\text{24}$ мН.

Ответ: Сила натяжения нитей уменьшится на $\text{24}$ мН.

б) какими должны быть модуль и направление вектора магнитной индукции, чтобы сила натяжения нитей стала равна нулю.

Сила натяжения нитей станет равной нулю ($T_1 = 0$), если сила Ампера $\vec{F'_A}$ будет направлена вертикально вверх и полностью скомпенсирует силу тяжести $\vec{F_g}$.

$F'_A = F_g$

Чтобы сила Ампера была направлена вверх при токе от M к N, вектор магнитной индукции $\vec{B'}$ по правилу левой руки должен быть направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас (как и в начальных условиях).

Найдем величину силы тяжести. Для этого сначала вычислим массу проводника $\text{m}$:

$m = \rho_{Al} \cdot V = \rho_{Al} \cdot S \cdot L$

$m = 2.7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ м²}) \cdot 0.2 \text{ м} = 1.08 \cdot 10^{-3}$ кг.

Сила тяжести:

$F_g = mg = 1.08 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с²}} = 1.08 \cdot 10^{-2}$ Н.

Теперь найдем модуль вектора магнитной индукции $B'$ из условия $F'_A = F_g$:

$I B' L = mg$

$B' = \frac{mg}{IL} = \frac{1.08 \cdot 10^{-2} \text{ Н}}{5.99 \text{ А} \cdot 0.2 \text{ м}} \approx 0.0090$ Т = $9.0$ мТл.

Ответ: Модуль вектора магнитной индукции должен быть равен $9.0$ мТл, а его направление — перпендикулярно плоскости рисунка от нас.