Номер 4.123, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Вынужденные колебания - номер 4.123, страница 102.

Условие.

4.123*. Через траншею перекинута тонкая узкая доска. Когда пешеход стоит на ней неподвижно, она прогибается на $10\text{ см}$. Когда же пешеход идёт по доске со скоростью $3,6\text{ км/ч}$, то доска начинает раскачиваться наиболее сильно. Найдите длину шага пешехода.

Решение.

Дано:

Прогиб доски, $x_0 = 10$ см.

Скорость пешехода, $v = 3,6$ км/ч.

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$x_0 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

$v = 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 3,6 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$

Найти:

Длину шага пешехода $\text{L}$.

Решение:

Когда пешеход неподвижно стоит на доске, она прогибается под действием его веса. В положении равновесия сила тяжести пешехода $F_g = mg$ равна силе упругости доски $F_{упр}$. Согласно закону Гука, $F_{упр} = kx_0$, где $\text{k}$ – жесткость доски.

Из условия равновесия получаем:

$mg = kx_0$

Отсюда можно выразить отношение массы пешехода к жесткости доски:

$\frac{m}{k} = \frac{x_0}{g}$

Систему "пешеход на доске" можно рассматривать как пружинный маятник. Период собственных колебаний такого маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Подставим в эту формулу найденное ранее отношение $\frac{m}{k}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$

Когда пешеход идет по доске, он периодически воздействует на нее. Наиболее сильное раскачивание доски (резонанс) происходит, когда период вынуждающей силы (период шагов $\tau$) совпадает с периодом собственных колебаний системы $\text{T}$.

Следовательно, в условии резонанса:

$\tau = T = 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$

Длина шага $\text{L}$ связана со скоростью пешехода $\text{v}$ и временем одного шага $\tau$ соотношением:

$L = v \cdot \tau$

Подставим выражение для периода $\tau$ в эту формулу, чтобы найти длину шага:

$L = v \cdot 2\pi\sqrt{\frac{x_0}{g}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$L = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{0,1 \text{ м}}{10 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{0,01 \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 0,1 \text{ м} = 0,2\pi \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$L \approx 0,2 \cdot 3,14 = 0,628 \text{ м}$

Округлив до сотых, получаем $0,63$ м, или $\text{63}$ см.

Ответ: Длина шага пешехода равна $0,2\pi \text{ м} \approx 0,63 \text{ м}$.