Номер 4.124, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Вынужденные колебания - номер 4.124, страница 102.

Условие.

4.124. Вагон массой 80 т имеет четыре рессоры жёсткостью 197 кН/м каждая. При какой скорости движения вагон будет сильно раскачиваться от толчков о стыки рельс, если длина рельса 25 м?

Решение.

Дано:

Масса вагона, $m = 80$ т
Количество рессор, $n = 4$
Жёсткость каждой рессоры, $k_1 = 197$ кН/м
Длина рельса, $L = 25$ м

$m = 80 \cdot 10^3$ кг = 80000 кг
$k_1 = 197 \cdot 10^3$ Н/м = 197000 Н/м

Найти:

Скорость движения вагона, $\text{v}$

Решение:

Сильное раскачивание вагона будет происходить при явлении резонанса. Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной (природной) частотой колебаний системы. В данном случае, вынуждающей силой являются периодические толчки вагона о стыки рельс, а колебательной системой — вагон на рессорах.

Условие резонанса заключается в равенстве периода собственных колебаний системы $T_0$ и периода действия вынуждающей силы $T_{ext}$.

$T_0 = T_{ext}$

Период вынуждающих толчков $T_{ext}$ — это время, за которое вагон проезжает расстояние, равное длине одного рельса $\text{L}$, со скоростью $\text{v}$:

$T_{ext} = \frac{L}{v}$

Период собственных колебаний вагона на рессорах $T_0$ определяется его массой $\text{m}$ и общей жёсткостью рессор $\text{k}$. Поскольку все четыре рессоры работают параллельно, их общая (суммарная) жёсткость равна сумме жёсткостей каждой рессоры:

$k = n \cdot k_1 = 4 \cdot 197000 \, \text{Н/м} = 788000 \, \text{Н/м}$

Период собственных колебаний для системы "масса-пружина" вычисляется по формуле Гюйгенса:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Приравняем выражения для периодов, чтобы удовлетворить условию резонанса:

$\frac{L}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$:

$v = \frac{L}{2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \frac{25 \, \text{м}}{2\pi\sqrt{\frac{80000 \, \text{кг}}{788000 \, \text{Н/м}}}} \approx \frac{25}{2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{0.1015}} \approx \frac{25}{6.28 \cdot 0.3186} \approx \frac{25}{2.0008} \approx 12.5 \, \text{м/с}$

Для удобства можно перевести скорость в км/ч:

$v = 12.5 \, \text{м/с} \cdot 3.6 = 45 \, \text{км/ч}$

Ответ: вагон будет сильно раскачиваться при скорости движения примерно $12.5$ м/с (или $\text{45}$ км/ч).