Номер 4.125, страница 102 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Колебания и волны. Глава 4. Механические колебания. Вынужденные колебания - номер 4.125, страница 102.

Условие.

4.125. На рисунке 4.35 представлена резонансная кривая груза, колеблющегося на пружине. При какой частоте внешнего воздействия наблюдается резонанс? Какова жёсткость пружины, если масса груза 100 г?

Рис. 4.35

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 100 \text{ г}$

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.1 \text{ кг}$

Из графика резонансной кривой (Рис. 4.35) находим резонансную угловую частоту.

Резонансная угловая частота: $\omega_{res} = 20 \text{ рад/с}$

Найти:

1. При какой частоте внешнего воздействия наблюдается резонанс? ($\omega_{res} - ?$)

2. Жёсткость пружины ($k - ?$)

Решение:

При какой частоте внешнего воздействия наблюдается резонанс?

Резонанс в колебательной системе наступает тогда, когда частота внешнего (вынуждающего) воздействия совпадает с собственной частотой системы. При этом амплитуда вынужденных колебаний достигает своего максимального значения.

На представленном графике (резонансной кривой) показана зависимость амплитуды колебаний $x_m$ от угловой частоты внешнего воздействия $\omega$. Максимум (пик) этой кривой соответствует явлению резонанса.

Из графика видно, что максимальная амплитуда колебаний ($x_m \approx 7 \text{ см}$) достигается при угловой частоте $\omega = 20 \text{ рад/с}$.

Ответ: Резонанс наблюдается при частоте внешнего воздействия $\omega_{res} = 20 \text{ рад/с}$.

Какова жёсткость пружины, если масса груза 100 г?

Как было установлено, резонанс наступает при условии, что частота внешнего воздействия равна собственной частоте колебаний системы:

$\omega_{res} = \omega_0$

Собственная угловая частота колебаний груза на пружине (пружинного маятника) вычисляется по формуле:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\text{k}$ – жёсткость пружины, а $\text{m}$ – масса груза.

Приравнивая выражения для резонансной и собственной частот, получаем:

$\omega_{res} = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти жёсткость пружины $\text{k}$, возведём обе части уравнения в квадрат и выразим $\text{k}$:

$\omega_{res}^2 = \frac{k}{m}$

$k = m \cdot \omega_{res}^2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$k = 0.1 \text{ кг} \cdot (20 \text{ рад/с})^2 = 0.1 \text{ кг} \cdot 400 \text{ рад}^2/\text{с}^2 = 40 \text{ Н/м}$

Ответ: Жёсткость пружины равна 40 Н/м.